Question

数学分析 极限 不等式

在自学数学分析的时候，遇到了一些问题，想请教一下
在两道证明极限的例题中有这两个不等式

书里写的是
但究竟n要多大才能使上面的不等式成立呢？这只要估算一下就可以了，例如当n>=2，上面的不等式就会成立，即当n>=2时，有第一个不等式
当n>100时，总有第二个不等式
想请问一下这里的2和100都是怎么得到的

还有一个问题一块问一下

这里的δ(n)为什么是大于0的呢？求帮助，谢谢
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多谢各位，第二个明白了

但是前面两个不等式，还是很糊涂
因为书里还有写的是

这里的2和100，应该不是随便取的吧？
还有第二个不等式，算了一下，从n=1开始就都是成立的，还为什么要取个100呢
书里也没有说给ε、M赋个值
想问一下这其中的道理

还有一点想问一下

为什么在求N的时候，有时要和一个数取max，有时又不需要呢？



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Answer 1

证明极限（或无穷大量）是根据定义来证明。即证明任给ε>0(或M>0),有正整数N，使n>N时，│xn-A│<ε(或│Xn│>M) ①。所以证明时，要从不等式①出发去找到N。
这样，你的第一个不等式应该是│xn-1/3│<ε，通常是将不等式左边适当放大化简为关于n的式子，这里是3/4n,如果放大后的式子3/4n能<ε(可得n>3/4ε),当然原来不等式就成立了。你看看，是否题解时，为说明n能根据ε而求得，就取ε=0.5，n>3/4ε=1.5，∴n≥2就行了。
第二个应该是证明Xn是无穷大量，对于任给的(充分大)正数M,不等式应该是│Xn│>M，通常是将不等式左边适当缩小化简为关于n的式子，这里是n/6，如果缩小后的式子n/6>M(可得n>6M),当然原来不等式就成立了。你看看，是否题解时，为说明n能根据M而求得，就取M=15，n>6M=90，∴n≥100肯定行了。
下面的问题中，δ(n)=1-1/2+1/3-1/4+……+(-1)^(n+1)*1/n=[1-1/2]+[1/3-1/4]+……+(-1)^(n+1)*1/n
即将δ(n)从首项起，每两项为一组，最后一组可能有两项(n为偶数)或一项(n为奇数),于是每组都为正数，所以δ(n)为正了。
以上内容面对面讲述比较容易，但是打出文字比较困难。希望对你有帮助。祝你学习进步，走向成功！

Answer 2

1，这里的n就是估计出来的，解不等式或直接代数验证即可，n等于多少不重要，重要的是体会极限的思想。
2，由于1-1/2,1/3-1/4...都是大于0的，所以当n为偶数时，肯定大于0，而n为奇数时，其实就是在n为偶数的情况下再加一个正数而已，更是大于0了。

Answer 3

对于第一题里2和100，你可以理解为总会存在一个N，当n>N时，总会有不等式成立。只不过2和100是题里那样写的，你就把2和100想成10000等等一个稍微大的数字就行！
对于第二题，n=2k+1时，原式=（1-1/2）+（1/3-1/4）+（...）+（...）+...+(1/2k-1-1/2k)+1/2k+1每一个括号都是大于0的数加起来肯定大于0，当n=2k时，原式==（1-1/2）+（1/3-1/4）+...+(1/2k-1+1/2k),每一个括号都大于0，加起来肯定大于0.
还有疑问再问。
哇，好崇拜你呀，半夜还在学习！