Question

等边△ABC中，D在AC上，延长BC至E，使CE=AD，DF⊥BC于F

等边△ABC中，D在AC上，延长BC至E，使CE=AD，DF⊥BC于F.
(1)如图1，若D是AC的中点,求证：BF=EF；
（2）如图2，若D是边AC上的任意一点，BF=CF是否成立？请证明你的结论；
（3）如图3，点D是边AC的延长线上任意一点，其它条件不变，（2）中结论是否依然成立？
画出图像并证明你的结论.
好的追加哦

Answer 1

证明：(1)　连结BD.
因为　D是等边三角形ABC的AC边的中点，
　　　　　所以　BD垂直于AC, 角DBC=1/2角ABC=30度，
　　　　　因为　D是AC的中点，CE=AD,
所以　CE=CD, 角CDE=角CED,
因为　角ACB=60度，且　角ACB=角CDE+角CED,
所以　角CED=1/2角ACB=30度，
　　　　　所以　角CED=角DBC,
所以　DB=DE,
又因为　PF垂直于BC于F,
所以　BF=EF．
　　(2)　若D是AC上的任意一点，则　BF=EF仍成立．
　　　　证明：过点D作DG//BC交AB于G,
因为　三角形ABC是等边三角形，
　　　　　　　所以　三角形AGD也是等边三角形，
　　　　　　　所以　AD=GD＝AG, 角AGD=角ACB=60度，
　　　　　　　因为　AD=CE, AD=GD,
所以　CE=GD,
因为　角AGD=角ACB=60度，
　　　　　　　所以　角BGD=角DCE=120度，
因为　AD=AG, AB=AC,
所以　BG=DC,
所以　三角形BGD全等于三角形DCE,
所以　DB=DE,
又因为　　PF垂直于BC于F,
所以　BF=EF．
　　(3)　若D是边AC延长线上任意一点，(2)中的结论仍然成立．
　　　　证明：因为　三角形ABC是等边三角形，
　　　　　　　所以　角ACB=60度,AC=BC,
　　　　　　　因为　DF垂直于BC于F,角CFD=90度，
　　　　　　　所以　角CDF=90度--角DCF
=90度--角ACB
=30度，
　　　　　　　所以　CF=1/2CD,
因为　BF=BC+CF=BC+1/2CD,
EF=CE--CF=CE--1/2CD,
又　　CE=AD, AC=BC,
所以　BF=AC+1/2CD,
EF=AD--1/2CD
=AC+CD--1/2CD
=AC+1/2CD,
所以　BF=EF.
说明一下：不知为什么，图像无法上传，很是抱歉．

Answer 2

证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC.∵在△ABD和△BCE中，BE=CE，∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，∴△ABD≌△BCE(两角及其夹边对应相等的两个三角形全等).∴∠BAD=∠CBE(全等三角形的对应角相等).∵∠ABE=∠ABC-∠CBE，∠FAE=∠BAC-∠BAD∴∠ABE=∠FAE.∵∠AEF公用，∴△AEF∽△ABE(两角对应相等的两个三角形相似).(2)∵∠BAD=CBE，∠ADB=∠BDF，∴△ADB∽△BDF(两角对应相等的两个三角形相似).∴BD:DF=AD:BD(相似三角形的三边对应成比例).∴BD^2=AD*DF.
1.本题重点考查了三角形相似的判定.证明两三角形相似我们通常有以下5种方法：（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；（3）判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似；（4）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；（5）判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。如本题中，我们利用“两角对应相等的两个三角形相似”得到了△AEF∽△ABE.2.此外，在解答此题的过程中，我们还用到了三角形全等的判定定理。如由题意可知，要证△AEF∽△ABE，由图形可知∠AEF公用，所以只需再证出一组角对应相等即可，我们就是通过证明△ABD≌△BCE得到了∠BAD=∠CBE，进一步推理即可得到∠ABE=∠FAE.
这道题是用“辅导王”解答出来的，它的总结挺好的；而学好数学的关键就在于总结一类题的解答方法与技巧，所以推荐你试一下“辅导王”，希望对你有帮助哦！

Answer 3

1，过D作AB的平行线，交BC或BC的延长线于G
∵△DGB全等于△DCE
∴BG=CE
∵△DGC是等边三角形
∴FG=FC
∴BF=FE
2，依然成立，证明同上
3，依然成立，在本小题的证明中过程中是△DBC全等于△DGE

追问

那个，能不能把过程写完整

追答

∵DG∥AB
∴△DGC是等边三角形
∵DF⊥BC
∴DF平分GC，即GF=FC
∵DG=DC=GC，BG=BC-GC=AC-DC=AD=CE，角DCE=角DGC=180-60=120
∴△DCE全等于△DGB(仅限于1，2，两小题的证明中)
∴BG=CE
∴BG﹢GF=BF=EF=CE﹢FC
同理在3小题的证明中，是△BCD全等于△DGE，原理相同

Answer 4

D
是AC的中点,CD=AD因为,CE=AD所以,CE=CD三角形CDE是等边三角形,因为三角形ABC是等边三角形,所以,