Question

求证下列方程有且只有一个实根。谢谢

求证方程

=0有且只有一个实根

Answer 1

对x求导是out[24]式（其中第二项是一个符合求导）

这个式子由于第一项恒大于等于1，第二项e的指数恒小于0，所以第二项的绝对值恒小于等于1，所以两项加起来是恒大于等于零的，于是乎这个函数是单调不减的

又当x=0时函数值是负的（第一个被积函数恒大于零）

当x=Pi/2时函数值是正的（第二个被积函数是恒大于1）

所以由连续性的介值定理可以知道在0到Pi/2之间至少有一个零点，又函数单调，所以只有一个零点

out[25]是软件做出的函数图象，证明了这个结论，零点在0.65左右

Answer 2

设F(x) = ∫{0,x} √(1+t^4)dt+∫{cos(x),0} e^(-t²)dt.
F(x)在R上可导, 并有F'(x) = √(1+x^4)-e^(-cos²(x))·(cos(x))' = √(1+x^4)+e^(-cos²(x))·sin(x).
当x = 0, 有F'(x) = 1 > 0.
当x ≠ 0, 有√(1+x^4) > 1.
而sin(x) ≥ -1, 0 < e^(-cos²(x)) ≤ e^0 = 1, 故e^(-cos²(x))·sin(x) ≥ -e^(-cos²(x)) ≥ -1.
故F'(x) = √(1+x^4)+e^(-cos²(x))·sin(x) > 0.
因此F(x)在R上严格单调递增.

F(0) = ∫{1,0} e^(-t²)dt = -∫{0,1} e^(-t²)dt < 0.
F(π/2) = ∫{0,π/2} √(1+t^4)dt > 0.
由F(x)连续, 根据介值定理, F(x) = 0存在实根.
而由F(x)严格单调递增, F(x) = 0的实根是唯一的.
即F(x) = 0有且仅有一个实根.