无穷小问题:设f(x)有连续的导数,f(0)=0,f'(0)不等于0,F(x)=(x到0)(x^2-t^2)f(t)dt,且当x趋于0时,... 20
无穷小问题:设f(x)有连续的导数,f(0)=0,f'(0)不等于0,F(x)=(x到0)(x^2-t^2)f(t)dt,且当x趋于0时,F'(x)与x^k是同阶无穷小,...
无穷小问题:设f(x)有连续的导数,f(0)=0,f'(0)不等于0,F(x)=(x到0)(x^2-t^2)f(t)dt,且当x趋于0时,F'(x)与x^k是同阶无穷小,则k等于几
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F(x)=(x到0)(x^2-t^2)f(t)dt
=x^2*(x到0)f(t)dt-(x到0)t^2f(t)dt
F'(x)=2x*(x到0)f(t)dt+x^2*f(x)-x^2*f(x)
=2x*(x到0)f(t)dt
第一次求导:F''(x)=2*(x到0)f(t)dt+2xf(x)
把2消掉,第二次求导:F‘’‘(x)=2f(x)+xf'(x)
F'''(x)/x=2*f(x)/x+f’(x)
以为f(x)/x 在x趋近于零时,根据洛必达法则,等于f'(0)
所以F'''(x)/x在x趋近于零时,等于3f'(0)
因为f'(0)不为零
所以F'''(x)与x同阶
所以F'(x)与x^3同阶
k=3
=x^2*(x到0)f(t)dt-(x到0)t^2f(t)dt
F'(x)=2x*(x到0)f(t)dt+x^2*f(x)-x^2*f(x)
=2x*(x到0)f(t)dt
第一次求导:F''(x)=2*(x到0)f(t)dt+2xf(x)
把2消掉,第二次求导:F‘’‘(x)=2f(x)+xf'(x)
F'''(x)/x=2*f(x)/x+f’(x)
以为f(x)/x 在x趋近于零时,根据洛必达法则,等于f'(0)
所以F'''(x)/x在x趋近于零时,等于3f'(0)
因为f'(0)不为零
所以F'''(x)与x同阶
所以F'(x)与x^3同阶
k=3
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