f(x)在(0,+∞)上有界且可导 当x趋于无穷时f(x)趋于0,那么f(x)的导数一定趋于0

这个结论哪错了能举个反例吗... 这个结论哪错了 能举个反例吗 展开
131猫咪
2012-07-07 · TA获得超过4174个赞
知道小有建树答主
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对函数割线的斜率,任取Δx>0,在x处:

     k(x)=(f(x+Δx)-f(x))/Δx;

f(x)→0(x→+∞),则(不知道极限的ε-δ表述你会不会):

任取ε>0,存在M∈R,使得当x>M时,

     |f(x)|<ε,

     |k|<2ε/Δx;

而由于取ε时,已取Δx,则可令ε=(Δx)^2,

故   |k|<2Δx;

令Δx→0,k→f'(x),k→0。

 

当然,这前提是f(x)在(0,+∞)上有界且可导,即连续;

若其不连续则没有Δx→0,k→f'(x)。

比如你可以在x-y系内构造出如下函数:(如附图)

(1)画出y=1/x 和y=-1/x  (x>0);

(2)在两条线之间一些画出平行斜线。

这些斜线组成的函数就满足x趋于无穷时f(x)趋于0,f(x)的导数不趋于0。

 

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追问
这个之前就没看懂  这些斜线又不连续的   可是   可导必连续啊
追答
可导的意思是在x=某一个值的时候 它的导数只有一个值 除了断点之外剩下的值都可导
但我不太确定f(x)在(0,+∞)上有界且可导是否必须每一个x的值都可导
兔子和小强
2012-07-07 · TA获得超过6946个赞
知道大有可为答主
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e^(-x)
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追问
它的导数是0啊
追答
哦,看错了,以为说的是f‘(0) = 0
sin(x)
有界,可导
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