Question

无穷小问题：设f(x)有连续的导数，f(0)=0,f'(0)不等于0，F(x)=（x到0）(x^2-t^2)f(t)dt,且当x趋于0时，...

无穷小问题：设f(x)有连续的导数，f(0)=0,f'(0)不等于0，F(x)=（x到0）(x^2-t^2)f(t)dt,且当x趋于0时，F'(x)与x^k是同阶无穷小，则k等于几

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

F(x)=（x到0）(x^2-t^2)f(t)dt
=x^2*(x到0)f(t)dt-(x到0)t^2f(t)dt
F'(x)=2x*(x到0)f(t)dt+x^2*f(x)-x^2*f(x)
=2x*(x到0)f(t)dt
第一次求导：F''(x)=2*(x到0)f(t)dt+2xf(x)
把2消掉，第二次求导：F‘’‘(x)=2f(x)+xf'(x)
F'''(x)/x=2*f(x)/x+f’(x)
以为f(x)/x 在x趋近于零时，根据洛必达法则，等于f'(0)
所以F'''(x)/x在x趋近于零时，等于3f'(0)
因为f'(0)不为零
所以F'''(x)与x同阶
所以F'(x)与x^3同阶
k=3