Question

三角恒等变换：设函数f(x)=sinxcosx-√3cos(x+π)cosx(x∈R) 若函数y=f(x)的图像按b=（π/4，√3/2）

平移后得到的函数y=g(x)的图像，求y=g(x)在[0,π/4]上的最大值

请解释“按b=（π/4，√3/2）平移”的意思，并附上解题过程，O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

我觉得是按照向量b平移，就是向右平移π/4，向上平移√3/2

由平移可知，求g(x)在[0,π/4]上最大值，等效于求f(x)在[-π/4,0]上的最大值再加√3/2
f(x)=sinx·cosx + √3 cos²x 【诱导公式】
=1/2 sin2x + √3 cos²x 【正弦倍角公式】
=1/2 sin2x +(√3+1)cos2x /2 【余弦倍角公式】
=cos60·sin2x+sin60·cos2x+(√3）/2 【把1/2,（√3）/2写成三角函数】
=sin(2x+π/3)+(√3）/2 【正弦两角和公式】
=sin[2(x+π/6)]+(√3）/2，相当于y=sin2x向左平移π/6再向上平移(√3）/2
y=sin2x的最大值取在当x=π/4+k·2π（此时2x=π/2)。向左平移后为π/12+k·2π，k取0和-1时均不满足范围。
y=sin2x的最小值去在当x=k·2π时，平移后为-π/6+k·2π，k取0时恰好在区间内，那么这段函数就是先下降再上升的函数，最大值在边界
计算f(0)=√3，f(-π/4)=(√3-1)/2，显然√3更大，那么g(x)当x取0时，最大值为（3√3）/2

追问

y=sin2x的最大值取在当x=π/4+k·2π（此时2x=π/2)。向左平移后为π/12+k·2π，k取0和-1时均不满足范围。y=sin2x的最小值去在当x=k·2π时，平移后为-π/6+k·2π，k取0时恰好在区间内，那么这段函数就是先下降再上升的函数，最大值在边界。计算f(0)=√3，f(-π/4)=(√3-1)/2，显然√3更大，那么g(x)当x取0时，最大值为（3√3）/2。什么意思

Answer 2

F(x)=1/2 sin2x + √3 cos²x=1/2 sin2x +√3/2cos2x+√3/2

=cos60sin2x+sin60cos2x+(√3）/2=sin(2x+π/3)+(√3）/2
b的理解可能是向右平移π/4个单位，再向上平移√3/2 个单位吧。

所以，g(x)=sin2((x+π/4)+π/3)+√3/2+√3/2=sin(2x+5π/6)+√3

当x∈[0,π/4]，则2x+5π/6 ∈[5π/6,4π/3] ∴sin(2x+5π/6)∈[-√3/2,1/2]
所以，g(x)的范围是，[√3/2,√3+1/2]

不懂可追问

追问

怎么我算出的g(x)=sin(2x+7π/6)+√3