Question

已知等比数列{an}前n项和为Sn,公比q>1,且a2=3,S3=13

已知等比数列an前n项和为Sn,公比q>1,a2=3，S3=13,数列bn满足b1/a1+b2/a2+b3/a3+…bn/an=n(n+2)（n属于N* ),
(一)、求数列an通项公式
(二)求数列bn前n项和Tn

Answer 1

(一)、a2=a1*q=3，
S3=a1*(1-q^3)/(1-q)=13，
解得：a1=1，q=3，(a1=9，q=1/3，舍去)，
——》an=a1*q^(n-1)=3^(n-1)；
(二)、b1/a1+b2/a2+b3/a3+…bn/an=n(n+2)，
——》b1/a1+b2/a2+b3/a3+…b(n-1)/a(n-1)=(n-1)(n+1)，
两式相减得：bn/an=2n+1，
——》bn=(2n+1)*3^(n-1)，
Tn=3*3+5*3^2+7*3^3+9*3^4+...+(2n-1)*3^(n-2)+(2n+1)*3^(n-1)，
——》Tn/3=3*1+5*3+7*3^2+9*3^3+...+(2n-1)*3^(n-3)+(2n+1)*3^(n-2)，
两式相减得：
2Tn/3=-3-2[(3+3^2+3^3+...+3^(n-2)]+(2n+1)*3^(n-1)
=-3-2*3*[1-3^(n-2)]/(1-3)+(2n+1)*3^(n-1)
=2(n+1)*3^(n-1)，
——》Tn=(n+1)*3^n。