已知f(x)=x(1/2^x-1+1/2)(x≠0),(1)判断f(x)的奇偶性,(2)证明f(x)>0.
2013-07-23 · 知道合伙人教育行家
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知道合伙人教育行家
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f(-x)=-x[1/(2^-x-1)+1/2]
=-x[2^x/(1-2^x)+1/2]
=-x[1/2-2^x/(2^x-1)]
=-x[(2^x-1)-2*2^x]/2(2^x-1)
=-x(-2^x-1)/2(2^x-1)
=x(2^x+1)/2(2^x-1)
=x(2^x-1+2)/2(2^x-1)
=x[(2^x-1)/2(2^x-1)+2/2(2^x-1)]
=x[1/2+1/(2^x-1)]
=f(x)
定义域2^x-1不等于0
所以2^x不等于1
所以x不等于0，关于原点对称
所以是偶函数
若x>0,则2^x>1,所以1/(2^x-1)>0
所以[1/2+1/(2^x-1)]>0,x>0
所以f(x)>0
若x<0,0<2^x<1
-1<2^x-1<0
所以1/(2^x-1)<-1
所以1/(2^x-1)+1/2<-1/2
x<0,所以x[1/(2^x-1)+1/2]>0
综上，x不等于0时，f(x)>0
=-x[2^x/(1-2^x)+1/2]
=-x[1/2-2^x/(2^x-1)]
=-x[(2^x-1)-2*2^x]/2(2^x-1)
=-x(-2^x-1)/2(2^x-1)
=x(2^x+1)/2(2^x-1)
=x(2^x-1+2)/2(2^x-1)
=x[(2^x-1)/2(2^x-1)+2/2(2^x-1)]
=x[1/2+1/(2^x-1)]
=f(x)
定义域2^x-1不等于0
所以2^x不等于1
所以x不等于0，关于原点对称
所以是偶函数
若x>0,则2^x>1,所以1/(2^x-1)>0
所以[1/2+1/(2^x-1)]>0,x>0
所以f(x)>0
若x<0,0<2^x<1
-1<2^x-1<0
所以1/(2^x-1)<-1
所以1/(2^x-1)+1/2<-1/2
x<0,所以x[1/(2^x-1)+1/2]>0
综上，x不等于0时，f(x)>0
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