Question

为什么2a+b>=2√(2ab)

如题，谁能给个详细的解答，原题如下
已知a＞0 b＞0，且2a+b=3 则ab的最大值为多少?但我不知道2a+b>=2√(2ab)这一步是如何得来的，求解这一步是怎么个证明过程

Answer 1

⑴已知a＞0 b＞0，且2a+b=3 则ab的最大值为多少?
解： 2a+b=3
（2a+b）²=3²
4a²+4ab+b²=9
4ab=9-(4a²+b²)
ab=9/4 - (4a²+b²) / 4
因为：a＞0 b＞0，所以：4a²＞0 ,b²＞0.
所以，ab的最大值为：ab=9/4.
⑵ 因为： （2a-b)²≥0
4a²-4ab+b²≥0
4a²+4ab+b²-8ab≥0
4a²+4ab+b²≥8ab
（2a+b)²≥8ab
两边开方，
2a+b≥√8ab
2a+b≥2√(2ab)

追问

答案是9/8的说

追答

你再检查一下，题给对了吗？上面的推理没错。

追问

你把题目复制在百度中搜索，然后就有答案了 是9/8

追答

2a+b=3 ,移项，得
b=3-2a 两边都 * a ,得
ab=a(3-2a)
ab=3a-2a²
=-2a²+3a
=-2(a²- 3/2 a) (配方，得下一步)
=-2[a² - 3/2 a +(3/4)²-(3/4)²]
=-2[(a - 3/2 )² - 9/16 ]
=-2(a - 3/2 )² + 9/8
∴ ab的最大值为：9/8

Answer 2

2a+b>=2√(2ab)这一步是一个证明结论

即为x+y大于等于2倍根号下xy
2a相当于x b相当于y 则
2a+b大于等于2根号下2ab
一般这种求最值的都要用到这个结论 最好记住

追问

也谢谢你

Answer 3

是不等式的一个公式 a+b>=2根号ab

追问

也谢谢你，看到你这个算法，明白了，非常感谢

Answer 4

a+b>=2√（ab)这是一个重要不等式，因为(√a-√b)²>=0,两边平方可得a+b>=2√（ab)，同理可证2a+b>=2√(2ab) （因为(√(2a)-√b)²>=0）

追问

也谢谢你