如图，已知AB⊥AD,BD⊥DC，且BD²=AB*BC求证BD是∠ABC的角平分线
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2013-07-24 · 知道合伙人教育行家
无脚鸟╰(⇀‸↼)╯
知道合伙人教育行家
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现在为上海海事大学学生，在学习上有一定的经验，擅长数学。
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证明：延长CD与BA的延长线相交于点E
因为BD垂直DC
所以角BDC=角BDE=90度
因为AB垂直AD
所以角BAD=90度
所以角BAD=角BDE=90度
因为角ABC=角EBC（公共角）
所以直角三角形BAC和直角三角形BCE相似（AA)
所以BC/BE=AB/BC
所以BC^2=AB*BE
因为BC^2=AB*BC
所以BC=BE
所以三角形BCE是等腰三角形
因为BD垂直DC
所以BD是等腰三角形BCE的角平分线（等腰三角形三线合一）
所以角ABD=角DBC
所以BD是∠ABC的角平分线
因为BD垂直DC
所以角BDC=角BDE=90度
因为AB垂直AD
所以角BAD=90度
所以角BAD=角BDE=90度
因为角ABC=角EBC（公共角）
所以直角三角形BAC和直角三角形BCE相似（AA)
所以BC/BE=AB/BC
所以BC^2=AB*BE
因为BC^2=AB*BC
所以BC=BE
所以三角形BCE是等腰三角形
因为BD垂直DC
所以BD是等腰三角形BCE的角平分线（等腰三角形三线合一）
所以角ABD=角DBC
所以BD是∠ABC的角平分线
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