Question

关于微积分的问题，为什么可积推出有界

第一张图， 为什么 可积就推出有界呢？

第二张图是我举出的反例，一般反常积分都会用到的图。
函数在x趋向0的时候可以趋向无穷大，但是整个函数的面积是一定的 （面积极限存在，面积是有界的）

问题出在哪里？

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Answer 1

在一元微分学里面，可微与可导是等价的处于同样的地位，但是在多元微分学里面，可微强于可导（可偏导）；同样在一元微分学里面，可微（可导）均可推出连续，但是在多元微分学里面，可微可推出连续。

可偏导并不能保证连续，需要偏导有界才能保证连续性。剩下的有界与可积是相互联系的，Riemann可积函数类的第一个性质就是有界，当然如果对广义积分来说有界就不是必要的了。而连续函数必Riemann可积，因此连续强于可积性。

总的来说，一元微积分里面，可积<连续<可微=可导，而可积必有界，对连续函数而言，需要在一定条件下才是有界的（如闭区间上的连续）。多元微积分里面，积分有多种，剩下的连续、可微、可导满足：可微必连续、可导；连续可偏导必可微；偏导有界必连续。

扩展资料：

定积分和不定积分：积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，定积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。

参考资料来源：百度百科-微积分

Answer 2

注意区间的开闭。
对于确定的闭区间，若是可积一定有界。
其实学了这么多年数学，从来没有学到任何一个函数在有定义的闭区间上是无界的。

对于确定的开区间，可积不一定有界

追问

谢谢你的解答，但是存在面积极限存在的情况，还有，图中函数并不特指lnx，lnx图像也不是这样的。

追答

在你追问之前，我已经修改过了，你再看一下
补充一下
可积函数定义
如果f(x)在[a,b]上的定积分存在（注意是定积分），我们就说f(x)在[a,b]上可积。即f(x)是[a,b]上的可积函数。

所以对于你提的第一个问题如果是无界函数，积分就是反常积分了，不是定积分，也就不能称为“可积”。

Answer 3

可积分=连续=极限存在=函数有界。