Question

如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上

如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点在y轴上，直线CB的表达式为y=-4/3x+16/3，点A、D的坐标分别为(-4,0),(0,4),动点P自A点出发，在AB上匀速运动。动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运动，速度均为每秒1个单位。当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为s（不能构成△OPQ的动点除外）

Answer 1

如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为y=－ x+ ，点A、D的坐标分别为（－4，0），（0，4）.动点P自A点出发，在AB上匀速运行.动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为s（不能构成△OPQ的动点除外）.
　　（1）求出点B、C的坐标；
　　（2）求s随t变化的函数关系式；
　　（3）当t为何值时s有最大值？并求出最大值.
　　【解】（1）把y＝4代入y＝－ x＋ ，得x＝1.
　　∴C点的坐标为（1，4）.
　　当y＝0时，－ x＋ ＝0，
　　∴x＝4.∴点B坐标为（4，0）.
　　（2）作CM⊥AB于M，则CM＝4，BM＝3.
　　∴BC＝ ＝ ＝5.
　　∴sin∠ABC＝ ＝ .
　　①当0＜t＜4时，作QN⊥OB于N，
　　则QN＝BQ·sin∠ABC＝ t.
　　∴S＝ OP·QN＝ （4－t）× t ＝－ t2＋ t（0＜t＜4） .
　　②当4＜t≤5时，（如备用图1），
　　连接QO，QP，作QN⊥OB于N.
　　同理可得QN＝ t.
　　∴S＝ OP·QN＝ ×（t－4）× t.
　　＝ t2－ t（4＜t≤5）.
　　③当5＜t≤6时，（如备用图2），
　　连接QO，QP.
　　S＝ ×OP×OD＝ （t－4）×4.
　　＝2t－8（5＜t≤6）.
　　（3）①在0＜t＜4时，
　　当t＝ ＝2时，
　　S最大＝ ＝ .
　　②在4＜t≤5时，对于抛物线S＝ t2－ t，当t＝－ ＝2时，
　　S最小＝ ×22－ ×2＝－ .
　　∴抛物线S ＝ t2－ t的顶点为（2，－ ）.
　　∴在4＜t≤5时，S随t的增大而增大.
　　∴当t＝5时，S最大＝ ×52－ ×5＝2.
　　③在5＜t≤6时，
　　在S＝2t－8中，∵2＞0，∴S随t的增大而增大.
　　∴当t＝6时，S最大＝2×6－8＝4.
　　∴综合三种情况，当t＝6时，S取得最大值，最大值是4.
　　（说明：（3）中的②也可以省略，但需要说明：在（2）中的②与③的△OPQ，③中的底边OP和高CD都大于②中的底边OP和高.所以③中的△OPQ面积一定大于②中的△OPQ的面积.）
　　【思路分析】（1）点B、C的横、纵坐标分别已知，将其代入直线CB的表达式y=－ x+ ，可求出点B、C的坐标. （2）根据三角 形面积公式列函数关系式，注意需分三种情况讨论. （3）按（2）中的三种情况，结合所列函数的性质分别求出最大值，最后加以综合，得出结论.
　　【方法规律】此题综合考查一次函数、二次函数、三角函数等知识，较以往压轴题难度降低，一改往年抛物线上架构几何图形的压轴 题特点，令人耳目一新，也更实用. 解题关键是结合图形特征分类讨论；能灵活应用一次函数、二次函数的性质，结合自变量取值范围的限制条件求最值.
　　【易错点分析】考虑问题不全面，只讨论其中一种或二种情况.
　　【关键词】一次函数，二次函数
　　【难度】★★★★☆

Answer 2

答得太好了