如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上
如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,底边CD的端点在y轴上,直线CB的表达式为y=-4/3x+16/3,点A、D的坐标分别为(-4,0),(0,4),动...
如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,底边CD的端点在y轴上,直线CB的表达式为y=-4/3x+16/3,点A、D的坐标分别为(-4,0),(0,4),动点P自A点出发,在AB上匀速运动。动点Q自点B出发,在折线BCD上匀速运动,速度均为每秒1个单位。当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动,设点P运动t(秒)时,△OPQ的面积为s(不能构成△OPQ的动点除外)
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2013-07-24
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如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为y=- x+ ,点A、D的坐标分别为(-4,0),(0,4).动点P自A点出发,在AB上匀速运行.动点Q自点B出发,在折线BCD上匀速运行,速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动.设点P运动t(秒)时,△OPQ的面积为s(不能构成△OPQ的动点除外).
(1)求出点B、C的坐标;
(2)求s随t变化的函数关系式;
(3)当t为何值时s有最大值?并求出最大值.
【解】(1)把y=4代入y=- x+ ,得x=1.
∴C点的坐标为(1,4).
当y=0时,- x+ =0,
∴x=4.∴点B坐标为(4,0).
(2)作CM⊥AB于M,则CM=4,BM=3.
∴BC= = =5.
∴sin∠ABC= = .
①当0<t<4时,作QN⊥OB于N,
则QN=BQ·sin∠ABC= t.
∴S= OP·QN= (4-t)× t =- t2+ t(0<t<4) .
②当4<t≤5时,(如备用图1),
连接QO,QP,作QN⊥OB于N.
同理可得QN= t.
∴S= OP·QN= ×(t-4)× t.
= t2- t(4<t≤5).
③当5<t≤6时,(如备用图2),
连接QO,QP.
S= ×OP×OD= (t-4)×4.
=2t-8(5<t≤6).
(3)①在0<t<4时,
当t= =2时,
S最大= = .
②在4<t≤5时,对于抛物线S= t2- t,当t=- =2时,
S最小= ×22- ×2=- .
∴抛物线S = t2- t的顶点为(2,- ).
∴在4<t≤5时,S随t的增大而增大.
∴当t=5时,S最大= ×52- ×5=2.
③在5<t≤6时,
在S=2t-8中,∵2>0,∴S随t的增大而增大.
∴当t=6时,S最大=2×6-8=4.
∴综合三种情况,当t=6时,S取得最大值,最大值是4.
(说明:(3)中的②也可以省略,但需要说明:在(2)中的②与③的△OPQ,③中的底边OP和高CD都大于②中的底边OP和高.所以③中的△OPQ面积一定大于②中的△OPQ的面积.)
【思路分析】(1)点B、C的横、纵坐标分别已知,将其代入直线CB的表达式y=- x+ ,可求出点B、C的坐标. (2)根据三角 形面积公式列函数关系式,注意需分三种情况讨论. (3)按(2)中的三种情况,结合所列函数的性质分别求出最大值,最后加以综合,得出结论.
【方法规律】此题综合考查一次函数、二次函数、三角函数等知识,较以往压轴题难度降低,一改往年抛物线上架构几何图形的压轴 题特点,令人耳目一新,也更实用. 解题关键是结合图形特征分类讨论;能灵活应用一次函数、二次函数的性质,结合自变量取值范围的限制条件求最值.
【易错点分析】考虑问题不全面,只讨论其中一种或二种情况.
【关键词】一次函数,二次函数
【难度】★★★★☆
(1)求出点B、C的坐标;
(2)求s随t变化的函数关系式;
(3)当t为何值时s有最大值?并求出最大值.
【解】(1)把y=4代入y=- x+ ,得x=1.
∴C点的坐标为(1,4).
当y=0时,- x+ =0,
∴x=4.∴点B坐标为(4,0).
(2)作CM⊥AB于M,则CM=4,BM=3.
∴BC= = =5.
∴sin∠ABC= = .
①当0<t<4时,作QN⊥OB于N,
则QN=BQ·sin∠ABC= t.
∴S= OP·QN= (4-t)× t =- t2+ t(0<t<4) .
②当4<t≤5时,(如备用图1),
连接QO,QP,作QN⊥OB于N.
同理可得QN= t.
∴S= OP·QN= ×(t-4)× t.
= t2- t(4<t≤5).
③当5<t≤6时,(如备用图2),
连接QO,QP.
S= ×OP×OD= (t-4)×4.
=2t-8(5<t≤6).
(3)①在0<t<4时,
当t= =2时,
S最大= = .
②在4<t≤5时,对于抛物线S= t2- t,当t=- =2时,
S最小= ×22- ×2=- .
∴抛物线S = t2- t的顶点为(2,- ).
∴在4<t≤5时,S随t的增大而增大.
∴当t=5时,S最大= ×52- ×5=2.
③在5<t≤6时,
在S=2t-8中,∵2>0,∴S随t的增大而增大.
∴当t=6时,S最大=2×6-8=4.
∴综合三种情况,当t=6时,S取得最大值,最大值是4.
(说明:(3)中的②也可以省略,但需要说明:在(2)中的②与③的△OPQ,③中的底边OP和高CD都大于②中的底边OP和高.所以③中的△OPQ面积一定大于②中的△OPQ的面积.)
【思路分析】(1)点B、C的横、纵坐标分别已知,将其代入直线CB的表达式y=- x+ ,可求出点B、C的坐标. (2)根据三角 形面积公式列函数关系式,注意需分三种情况讨论. (3)按(2)中的三种情况,结合所列函数的性质分别求出最大值,最后加以综合,得出结论.
【方法规律】此题综合考查一次函数、二次函数、三角函数等知识,较以往压轴题难度降低,一改往年抛物线上架构几何图形的压轴 题特点,令人耳目一新,也更实用. 解题关键是结合图形特征分类讨论;能灵活应用一次函数、二次函数的性质,结合自变量取值范围的限制条件求最值.
【易错点分析】考虑问题不全面,只讨论其中一种或二种情况.
【关键词】一次函数,二次函数
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2013-07-24
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