Question

已知从圆O外一点P作圆O的切线PA,PB,分别切圆O于点A,B,在劣弧⌒AB上取任一点C,过点C作圆O的切线

分别交PA,PB于点D和点E，求证：（1）三角形PDE的周长为定值，（2）角DOE的大小是定值

Answer 1

证明：
1、
∵PA、PB切圆O于A、B
∴PA＝PB
∵DE切圆O于C
∴AD＝CD，BE＝CE
∴DE＝AD+BE
∴△ADE的周长＝PD+DE+PE＝PD+AD+BE+PE＝PA+PB＝2PA
∴△ADE的周长是定值
2、
∵PA切圆O于A，DE切圆O于C，OA＝OC
∴∠DOC＝∠AOD＝∠AOC/2
同理：∠EOC＝∠BOC/2
∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝（∠AOC+∠BOC）/2＝∠AOB/2
∵PA、PB切圆于A、B
∴∠PAO+∠PBO＝90+90＝180
∴P、A、O、B四点共圆
∴∠P+∠AOB＝180
∴∠AOB＝180-∠P
∴∠DOE＝90-∠P/2是这定值

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