Question

在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1

1.证明数列{an-n}是等比数列2.求数列{an}的前n项和Sn3.证明不等式Sn+1《4Sn，对任意n属于N成立

Answer 1

解（1 ） 因为a（n+1）-(n+1)=4(an-n) 所以 [ a（n+1）-(n+1)]/(an-n) =4 所以 数列{an-n}是以a1-1为首项，公比为4的等比数列 所以 an= （a1-1）×4^(n-1)+n=4^(n-1)+n （2）又上式可得 Sn=an+a(n-1)+.......+a2+a1 =[4^(n-1)+n]+[4^(n-2)+n-1]+....+[4^1+2]+[4^0+1] =(1/3)(4^n-1)+n(n+1)/2 ( 3) 因为 a（n+1）=4an-3n+1 所以 S(n+1) = a（n+1）+an+a(n-1)+.......+a3+a2+a1 =[4an-3n+1]+[4a(n-1)-3(n-1)+1]]+[4a(n-2)-3(n-2)+1]+....+[4a2-3×2+1]+[4a1-3×1+1]+2 =4[an+a(n-1)+.......+a2+a1]-3[n+(n-1)+....+2+1]+n(1+1)/2+2 =4Sn-3n(n+1)/2+n+2 =4Sn-[3n(n+1)/2-n-2] =4Sn-(3n^2+n-4)/2 即S（n+1）=4Sn-(3n^2+n-4)/2 所以 4Sn-S（n+1）=(3n^2+n-4)/2 因为任意n属于N，都有3n^2+n-4≥0 所以4Sn-S（n+1）≥0 即4Sn≥S（n+1） 所以 S（n+1）《4Sn 对任意n属于N成立

Answer 2

第1问:
设数列{bn}，令bn=an-n
则an=bn+n
代入a(n+1)=4an-3n+1
得b(n+1)+n+1=4(bn+n)-3n+1
化简得b(n+1)=4bn
所以数列{bn}即数列{an-n}是公比为4的等比数列
第2问:
b1=a1-1=2-1=1
bn=b1*q^(n-1)=4^(n-1)
an=bn+n=4^(n-1)+n
Sn=a1+a2+……+an
=(1+1)+(4+2)+……+[4^(n-1)+n]
=[1+4+……+4^(n-1)]+(1+2+……+n)
=1*(1-4^n)/(1-4)+n(n+1)/2
=(4^n-1)/3+n(n+1)/2

Answer 3

天那，一个个学习都这么认真。。恐怖