Question

求教大神！！！数学极限类的题目！

题目如上图！！！ 求详细过程！！！！！ 跪谢！！！
有木有大神帮忙啊！！！ 5555555555555555！~！！！！！！

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Answer 1

2. 极限闹旁不存在, 也可以说是+∞.
首先, 当n为正整数时2^n > n, 故2 > n^(1/n).
因此n > 1时√(n+k)/(n^(1/n)+k)
> √(n+k)/(2+k)
≥ √(2+k)/(2+k)
= 2/(2√(2+k))
> 2/(√(2+k)+√(3+k))
= 2(√(3+k)-√(2+k))
= 2√(3+k)-2√(2+k).
对k = 1, 2,..., n求和得√(n+1)/(n^(1/n)+1)+√(n+2)/(n^(1/n)+2)+...+√(n+n)/(n^(1/n)+n)
> (2√4-2√3)+(2√5-2√4)+...+(2√(3+n)-2√(2+n))
= 2√(3+n)-2√3.
而n → ∞时, 2√(3+n)-2√3 → +∞, 于是
√(n+1)/(n^(1/n)+1)+√(n+2)/(n^(1/n)+2)+...+√(n+n)/(n^(1/n)+n) → +∞.

1. 1/(f(x)-f(a))-1/((x-a)f'(a)) = (f(x)-f(a)-(x-a)f'(a))/((f(x)-f(a))(x-a)f'(a))
= (f(x)-f(a)-(x-a)f'(a))/(x-a)²·1/f'(a)·(x-a)/(f(x)-f(a)).
由f(x)在a处可导, lim{x → a} (f(x)-f(a))/(x-a)存在, 并等于f'(a).
而f'(a) ≠ 0, 故lim{x → a} (x-a)/(f(x)-f(a)) = 1/f'(a).
只需求lim{x → a} (f(x)-f(a)-(x-a)f'(a))/(x-a)².

这里用L'Hospital(洛必达)法则.
由f(x)在a处二阶可导, 有lim{x → a} (f'(x)-f'(a))/(x-a)存在, 并等于f"(a).
根据L'Hospital法则可知, 0/0型极液竖橡限lim{x → a} (f(x)-f(a)-(x-a)f'(a))/(x-a)²存在,
并等于lim{x → a} (f(x)-f(a)-(x-a)f'(a))'/((x-a)²)'
= lim{x →纤型 a} (f'(x)-f'(a))/(2(x-a))
= f"(a)/2.
于是lim{x → a} (1/(f(x)-f(a))-1/((x-a)f'(a)))
= (lim{x → a} (f(x)-f(a)-(x-a)f'(a))/(x-a)²)·1/f'(a)·(lim{x → a} (x-a)/(f(x)-f(a)))
= f"(a)/(2(f'(a))²).

追问

 非常非常感谢你！！！！！

  看你这么以证明我突然感觉着书上给的参考答案会不会是错的！！！！ 

追答

目测是题目印错了(单看√(n+1)/(n^(1/n)+1)这一项就发散了).
从答案反推, 应该是2/3·(2√2-1) = ∫{0,1} √(1+x) dx.
∫{0,1} √(1+x) dx = lim{n → ∞} 1/n·∑{1 ≤ k ≤ n} √(1+k/n)
= lim{n → ∞} 1/n·∑{1 ≤ k ≤ n} √(n+k)/√n
= lim{n → ∞} 1/√n·∑{1 ≤ k ≤ n} √(n+k)/n.
另外不难得到lim{n → ∞} 1/√n·∑{1 ≤ k ≤ n} √(n+k)/(n+2)也与上式相等.
这样的话, 如果将题目修改为: lim{n → ∞} 1/√n·∑{1 ≤ k ≤ n} √(n+k)/(n+k^(1/n)),
那么可以用夹逼定理证明其极限为2/3·(2√2-1).