Question

如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，AD上，且BM=DN，MG∥AD，NF∥AB，点F，G分别在BC，CD上

如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，AD上，且BM=DN，MG∥AD，NF∥AB，点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E求证：四边形AMEN，EFCG都是菱形

Answer 1

∵MG//AD，NF//AB
∴四边形AMEN是平行四边形
四边形EFCG是平行四边形
∴AM//＝EN，AN//＝ME
∴EN//＝DG，ME//＝BF
又∵四边形EFCG是平行四边形
∴EF//＝CG,EG//＝FC
∴ND//＝EG//＝CF，BM//＝EF//＝CG
∴四边形BMEF与四边形NDGE是平行四边形
∴BM=EF,ND=EG
又∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD
∴AB-BM=AD-ND
即AM=AN
∴平行四边形AMEN是菱形
同理平行四边形EFCG是菱形

Answer 2

证明：因为四边形ABCD是菱形
所以AB=AD=BC=CD
AB平行CD
AD平行BC
因为AB=AM+BM
AD=AN+DN
BM=DN
所以AM=AN
因为MG平行AD
NF平行AB
所以四边形AMEN是平行四边形
因为AM=AN（已证）
所以四边形AMEN是菱形
所以ME=NE
四边形ABFN和四边形AMGD，四边形EFCG都是平行四边形
所以AB=NF
AD=MG
所以NF=MG
因为MG=ME+EG
NF=NE+EF
所以EF=EG
所以四边形EFCG是菱形
综上所述：四边形AMEN和四边形EFCG都是菱形