Question

一道高中数学解三角形题（求解析过程）

在△ABC中，a=5,b=4,cos(A-B)=31/32,求cosC。

Answer 1

方法一；
∵a>b，由边对角可得A>B
BC上取D,使得BD=AD，连AD
设BD=AD=x,则DC=5-x
在△ADC中,由余弦定理:(5-x)²=x²+4²-2x*4*(31/32)
25-10x=16-(31/4)x
得x=4
∴在△ADC中,AD=AC=4,CD=1
cosC=(1/2CD)/AC=1/8

方法二：
∵a＞b ∴A＞B
作AB的中垂线DE交BC于E，过E作EF⊥AC于F ，
则cos(A－B)＝cos∠EAF＝AF/AE＝31/32
设AE＝32k，则AF＝31k，BE＝32k，CE＝5－32k，CF＝4－31k
因为EF^2＝AE^2－AF^2＝CE^2－CF^2
所以(32k)^2－(31k)^2＝(5－32k)^2－(4－31k)^2
∴k＝1/8
∴cosC＝CF/CE＝(4－31/8)/(5－32/8)＝1/8

Answer 2

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB=31/32 (1)
cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB (2)
(1)-(2)得：2cosAcosB=31/32-cosC （3）
设边c=x，根据余弦定理，可将（3）中所有三角函数表示为边长，于是得到一个只含x的方程，便可解出x，然后就能算cosC了，哪里不懂可以追问

追问

你说的方法我试了一下，方程确实是可以列出来的，但是很难解啊。但还是谢谢了

Answer 3

由正弦定理得sinA/sinB=5/4,所以sinA=5/4sinB=sin[(A-B)+B]，展开可解出tanB，于是易求cosC.

Answer 4

Cos(A-B)=cos(A+B)
cos(C)=-31/32