Question

在△ABC中角A.B.C所对的边为a.b.c m=(b,a-2c)n=(cosA-2cosC,cosB

在△ABC中角A.B.C所对的边为a.b.c m=(b,a-2c)n=(cosA-2cosC,cosB) 且m⊥n，若a=2 |m|=3根号5 求三角形ABC面积

Answer 1

解，
向量m⊥向量n
∴m*n=0
∴b*(cosA-2cosC)+(a-2c)*cosB=0
利用正弦定理，
b=sinB*2R
c=sinC*2R
∴sinB*(cosA-2cosC)+(sinA-2sinC)*cosB=0
sin(A+B)-2sin(B+C)=0
又，在三角形中，
sin(A+B)=sinC
sin(B+C)=sinA
∴sinC=2sinA
sinC/sinA=2。
又，sinC/sinA=c/a=2，a=2
∴c=4
|M|=√[b²+(a-2c)²]=3√5
解出，b=3，或b=-3(舍去)
cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)
=7/8
∴sinA=√15/8
S(△ABC)=1/2*bc*sinA
=3√15/4。