Question

设函数f(x)=(e^x+x-a)开方 (a属于R ,e 为自然对数的底数).若存在b属于[0,1] 使

Answer 1

采用排除法
（1）若a=e+1则
f(x)=√(e^x+x-e-1)
f(y0)=√(e^y0+y0-e-1)
e^y0+y0-e-1>=0
y0=1
f(1)=0
f(f(1))=f(0)=√(1-e-1)=√(-e) 这是不成立的所以　B,D是不正确的。
（2）若a=e^(-1)-1
f(x)=根号(e^x+x-e^(-1)+1)
e^x+x-e^(-1)+1>=0
e^y0+y0-e^(-1)+1>=0
y0=-1
f(y0)=f(-1)=0
f(f(-1))=f(0) =根号(1-e^(-1)+1) =根号(2-e^(-1)
是成立的
(3)若a=0
则f(x)=√(e^x+x)
f(y0)=√(e^y0+y0)
0<=e^y0+y0<=e+1
0<=f(y0)<=√（e+1）
f(f(y0))=√(e^f(y0) +f(y0)) =y0 (-1<=y0<=1)
y0>=0 f(y0)>=1
f(f(y0)>=√(e+1)>1　　所以a不可以是0
所以只能选A

Answer 2

解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f-1（b）
其中f-1（x）是函数f（x）的反函数
因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，转化为
“存在b∈[0，1]，使f（b）=f-1（b）”，
即y=f（x）的图象与函数y=f-1（x）的图象有交点，
且交点的横坐标b∈[0，1]，
∵y=f（x）的图象与y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称，
∴y=f（x）的图象与函数y=f-1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，
由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，
根据
ex+x−a
＝x，化简整理得ex=x2-x+a
记F（x）=ex，G（x）=x2-x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，
可得

F(0)≤G(0)
F(1)≥G(1)

，即

e0≤02−0+a
e1≥12−1+a

，解之得1≤a≤e
即实数a的取值范围为[1，e]
故选：A