Question

双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的离心率为√5/2,F1,F2分别为左、右焦点，

M为左准线与渐近线在第二象限的焦点，且向量F1M·向量F2M=-1/4，求双曲线的方程

Answer 1

双曲线x²/a²-y²/b²=1的离心率为√5/2
∴c/a=√5/2,a=2c/√5
∴b²=√(c²-a²)=c/√5
左准线x=-a²/c=-4c/5
经过2，4象限的渐近线为y=-b/ax=-1/2x
由{y=-1/2x ,x=-4c/5
==> M(-4c/5,2c/5)
又F1(-c,0),F2(c,0)
∴F1M=(c/5,2c/5),F2M(-9c/5,2c/5)
∴向量F1M·向量F2M
=-9c²/25+4c²/25
=-c²/5=-1/4

∴c²=5/4, a²=1,b²=1/4
∴双曲线为x²-4y²=1