Question

高中数学 第11题求讲解

Answer 1

解答：
所作的四边形是平行四边形
设过左焦点且倾斜角是45°的一条直线方程是y=x+c.
代入椭圆方程x²/a²+y²/b²=1
则 b²x²+a²(x+c)²=a²b²
∴ (b²+a²)x²+2a²cx+a²c²-a²b²=0
∴ x1+x2=-2a²c/(a²+b²)
x1*x2=(a²c²-a²b²)/(a²+b²)
∴ |x1-x2|²
=(x1+x2)²-4x1*x2
=[4a²*a²*c²-4(a²c²-a²b²)*(a²+b²)]/(a²+b²)²
= 4a²b²(a²-c²+b²)/(a²+b²)²
= 8a²b²*b²/(a²+b²)²
∴ |x1-x2|=2√2 ab²/(a²+b²)
∴ 弦长是√(1+1)*|x1-x2|=4ab²/(a²+b²)
两条平行直线y=x+c,y=x-c间的距离d=|2c|/√2=√2c
∴ S1=4√2ab²c/(a²+b²)

以椭圆顶点为顶点的四边形是菱形
其面积S2=2ab
∵ S1：S2=2√2/3
∴ 2√2bc/(a²+b²)=2√2/3
∴ 3bc=a²+b²
∴ 3bc=2b²+c²
∴ (b-c)(2b-c)=0
∴ b=c或b=c/2
若b=c,则a=√2b<2b，与已知矛盾
∴ b=c/2
∴ a²=b²+c²=5c²/4
∴ c²/a²=4/5
∴ e=c/a=2√5/5
选B