Question

已知数列{an}中,a1=4,an 1=2(an-n+1）

) （1）求证：数列{an-2n}为等比数列；（2）设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn＞＝an+2n^2,求正整数n的最小值
第一题会证，第二题求和后，那个不等式不知道怎么判断。。

Answer 1

令b[n]=a[n]-2n
代入原式得b[n+1]=2b[n]（可以验算一下）
然后求b[1]
得到b[n]通项，那也就得到a[n]通项
a[n]=2^n+2n

Sn=2(2^n-1)/(2-1)+2(n+1)n/2=2^(n+1)-2+n^2+n
Sn>=an+2n^2
即2^(n+1)-2+n^2+n>=2^n+2n+2n^2
2^n>=n^2+n+2
由于2^n和n^2+n+2在n>=1上都是增函数.且有2^5>=5^2+5+2
故n的最小正整数是n=5.

Answer 2

(1)
a(n+1)=2(an-n+1）
a(n+1)-2(n+1) = 2(an-2n )
[a(n+1)-2(n+1)]/(an-2n ) =2
=>{an-2n}为等比数列

(2)
(an-2n ) /(a1-2 )=2^(n-1)
an = 2n+ 2^n
Sn =a1+a2+...+an
= n(n+1) + 2(2^n-1)
Sn > an +2n^2
n(n+1) + 2(2^n-1) > 2n+ 2^n + 2n^2
n^2+n -2 +2^(n+1) > (2n^2+2n)+ 2^n
2^n > n^2+n+2
正整数n的最小值 = 6

追问

2^n > n^2+n-2，不是+2吗？？
正整数n的最小值 = 3，就是这最后两步中间过程是怎么判断的？

追答

2)
(an-2n ) /(a1-2 )=2^(n-1)
an = 2n+ 2^n
Sn =a1+a2+...+an
= n(n+1) + 2(2^n-1)
Sn > an +2n^2
n(n+1) + 2(2^n-1) > 2n+ 2^n + 2n^2
n^2+n -2 +2^(n+1) > (2n^2+2n)+ 2^n
2^n > n^2+n+2

2^n 增加比 n^2+n+2 来得快
当 n=5 ， 2^n = n^2+n+2= 32
当 n<5 ， 2^n < n^2+n+2
正整数n的最小值 = 6

Answer 3

an 1=2(an-n+1）什么意思