Question

已知函数f(x)=Ix^2—1I+x^2+kx,若函数f(x)在区间（0，2）上有两个不同的零点，求k的取值范围。

Answer 1

（1）f(x)=0
|x�0�5-1|+x�0�5+2x=0
x�0�5-1+x�0�5+2|x�0�5-1|+x�0�5+2xx=0或-(x�0�5-1)+x�0�5+2x=0
2x �0�5+2x-1=0或2x+1=0
解得：x=(-1±√3)/2或x=-1/2

（2）关于x的方程f(x)=0在（0，2）上有两个解
当0<x<1时，y=kx+1=0有一个解x=-1/k,此时要求k<-1
当1<x<2时，y=2x�0�5+kx-1，对称轴为x=-k/2
判别式k�0�5+8＞0恒成立,
解得：x1=-k/4+(√(k�0�5+8))/4 或x2=-k/4-(√(k�0�5+8))/4
且f(0)=-1<0，则两根一正一负

★★★则问题转化为：

★k>-1时，方程f(x)=kx+1=0在(0,1)没有根，就要求方程y=2x�0�5+kx-1有2根位于(1，2)，即：1<x1,x2<2，但两根一正一负，不成立！

★k<-1时，x在(0,1),方程f(x)=kx+1=0有1根，就要求y=2x�0�5+kx-1有且只有一根位于(1，2)，即：1<x1<2
代入解得：-7/2<k<-1

综合：k的取值范围为：-7/2<k<-1

1/X1+1/X2
=(x1+x2)/x1*x2
=(-k/2)/(-1/2)
=k＜4恒成立

★★★注意★★★：|x|<1时有1根，但并不代表|x|>1没有根！！！