Question

用拉格朗日乘数法求条件最值

题目如下：

在构造拉格朗日函数时为什么不是

而是

y>=0的条件不用管吗？求大神指教~

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Answer 1

不是不是而是的问题。。首先得说，拉格朗日极值点出现的位置，可能在你约束定义域范围内，也可能在你约束外。（1）如果你求得的点在所求区域内，那么就相当于lamda=0 也就是约束不起作用。这时候，你直接对函数求导，不管定义域，直接求极值，然后看看在不在所给的定义域D内，如果在，那么好了，这个无约束的也是极值点。
（2）约束起作用，不跟你说那么深，反正告诉你，你这个二元函数是凸的，那么如果约束起作用，那么极值一定是在满足你不等式定义的边界，也就是等式上成立的。所以，x²+4y²-4=0 本来是要加y=0的，但是y>=0起作用的话，y一定等于0，那么实际上这是包含在x²+4y²-4=0 中的，由于y的正负不影响最后的值的，也是不影响定义域的，所以，不起作用。
一定要注意这题，要考虑不考虑约束，直接求极值的情况，也就是（1)这个很容易漏掉。因为你拉格朗日，一对lamda求偏导，就相当于默认不等式一定取等号了，但其实不然，可能不在边界，而在内部，本题也就是
2x-8xy²=0 16y-8x²y=0 (x=0 y=0 , x=根号2 y=1/2） 也是极值点

追问

也就是说我用拉格朗日乘数法求最值，首先要不考虑约束求出极值点，然后判断函数凹凸性，接着再构造拉格朗日函数求极值，最后把上面步骤求出来所有的点的值进行比较求出最值。是这么个过程不？
还有为什么函数是凸的约束就一定在边界起作用啊？x²+4y²-4=0不是个椭圆嘛，那这个椭圆的y不只可以>=0也可以<=0的呀？还是说只要y的范围包括0了约束条件就一定在y=0起作用的？
我比较笨啊。。大神见谅。。。

追答

对的，是这么个思路。这一题，恰好y的正负性不影响约束和目标函数值的。所以，可以不考虑y>=0的约束。对于一般的情况，也是要考虑约束的，那么就要分约束1起作用，约束2不起作用；约束1起作用，约束2起作用，以及约束1不起作用，约束2起作用，约束1不起作用，约束2不起作用。四种情况讨论。 原因前面也说了，你用拉格朗日，一求偏导就是默认起作用了，但是这是不对的，所以你的两个一起来的话，只是一种情况。还有3种情况，一一讨论。这道题就比较人性，就是y为负为正是不影响约束和目标值的，所以，可以在解题时可以不考虑2个约束，只考虑1个约束，但是最后写解的时候，注意y只能是正的。