Question

已知函数f(x)=8+2x-x²，g(x)=f(2-x²)，讨论g(x)的单调性。

要说明步骤。最好解释难的步骤。

Answer 1

复合函数的单调性问题。

令t=2-x²，该函数在(-∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减；

f(x)=-x²+2x+8在(-∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减

解2-x²≤1得x≤-1或x≥1.

解2-x²≥1得-1≤x≤1.

所以g(x)在(-∞,-1)上单调递增，在(-1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减。

Answer 2

解:令f(u)=-u²+2u+8,u(x)=2-x²,
由u(x)=2-x²可知，x≥0递减，x<0递增且u≤2.
由f(u)=-u²+2u+8，可知，
当u≤1时递增，当1<u≤2时递减.
(1)当u≤1时，2-x²≤1，即x≥1或x≤-1，
故x≥1时，g(x)单调递减，x≤-1时，g(x)单调递增.
(2)当1<u≤2时，1<2-x²≤2，即-1<x<1
故-1<x<0时，g(x)单调递减，0≤x<1时,g(x)单调递增.
综上，g(x)的单调递增区间为(-∞，-1〕，〔0,1).
g(x)的单调递减区间为(-1，0)，〔1,+∞).

追问

能不能帮我解释一下为什么当u≤1时，2-x²≤1？

Answer 3

解：法一：复合函数求导
g'(x)=-2x(2-2x)=-4x(1-x)
列表得 当x属于（负无穷，1）g'(x)>0,g(x)在（负无穷，1）上单调递增
当x属于 (1,正无穷) g'(x)<0,g(x)在(1,正无穷)上单调递减
法二：求出g(x)=f(2-x²)=8-6x^2-x^4
令 x^2=t 则g(x)=-t^2+2t+8
x轴=1
所以g(x)在（负无穷，1）上单调递增
g(x)在(1,正无穷)上单调递减。

Answer 4

g(x)=f(2-x^2)=8+2(2-x^2)-(2-x^2)^2=8+4-2x^2-4+4x^2-x^4=-x^4+2x^2+8

g'(x)=-4x^3+4x,令g'(x)=0,即-4x^3+4x=0，解得x=0或x=1或x=-1
当x>1 时g'(x)<0 g(x)单调递减
当 0< x< 1时g'(x)>0,g(x)单调递增
当 - 1 <x<0 时，g‘(x)<0，g(x)单调递减
当x< -1时，g'（x)>0.g(x)单调递增
综上，g(x)的单调增区间为（-∞， - 1 ] 与[ 0, 1 ]
g(x)的单调减区间为（ - 1，0）与（ 1 ， +∞ ）

Answer 5

g(x)=f(2-x²)
=8+2(2-x^2)-(2-x^2)^2
=8+4-2x^2-4+4x^2-x^4
=-x^4+2x^2+8

g'(x)=-4x^3+4x
g'(x)>0
x^3-x<0
x(x^2-1)<0
x(x-1)(x+1)<0
x<-1或0<x<1

g(x) (-R,-1),(0,1)上分别单调增
g(x) (-1,0),(1,R)上分别单调减