Question

（a,b,c）为正整数，证明（（a,b）,c）=（a,b,c）。

Answer 1

主要使用结论: 两个数的公约数一定整除它们的最大公约数.
首先, 若a, b, c中有0, 易见((a,b),c) = 0 = (a,b,c). 以下只讨论a, b, c ≠ 0的情况.
∵(a,b,c)是a, b, c的公约数, 即(a,b,c) | a, (a,b,c) | b, (a,b,c) | c,
∴(a,b,c) | (a,b), (a,b,c) | c, 即(a,b,c)是(a,b)和c的公约数,
∴(a,b,c) | ((a,b),c).
由a, b, c ≠ 0, 有((a,b),c) > 0, 于是(a,b,c) ≤ ((a,b),c).
而∵((a,b),c)是(a,b)和c的公约数, 即((a,b),c) | (a,b), ((a,b),c) | c,
∴((a,b),c) | a, ((a,b),c) | b, ((a,b),c) | c, 即((a,b),c)是a, b, c的公约数.
∴((a,b),c) ≤ (a,b,c).
于是只有((a,b),c) = (a,b,c).

至于怎么证明两个数的公约数一定整除它们的最大公约数.
这个用裴蜀(Bézout)定理, 存在整数x, y使ax+by = (a,b).
易见a, b的公约数一定整除左边, 因此也整除右边.
Bézout定理则是用带余除法证明的.

Answer 2

(a,b)这个运算结果应该是b吧，取最右的值，那（a,b,c）=c;((a,b),c)先运算（a，b），为b。再运算（b，c） ，为c。
即（（a,b）,c）=（a,b,c）。