Question

换元法高一函数 代来代去不懂了！

若f(x+1)=x^2+x+1 f（x）=？ 使用换元法就是 设 x+1=t 则x=t-1 然后就把 t-1 代到 f（x+1）=x^2+x+1 里 换x 然后就出来 f（x）=x^2 其实这里我不懂 为什么 x+1=t x=t-1 能突然代入到 f（x+1）=x^2+x+1 里 而且 结果还是对的~~~~~~费解

Answer 1

原来函数的表示 f(x+1)=x^2+x+1, 实际上是 把 (x+1) 作为一个自变量整体来对待的. 但是等号右边, 是以 x 为自变量来表达的.
如果能够把等号右边的式子, 也改成以 (x+1) 为自变量的方式来表达, 就满足要求了.

可以直接对 x^2+x+1 按照 (x+1) 这个因子来做因式分解. 也就是 x^2+x+1=(x+1)^2-(x+1)+1.
这样整个函数就变成 f(x+1)=(x+1)^2-(x+1)+1, 把 (x+1) 看成是一个变量, 就成了 f(x)=x^2-x+1 了.

这样做的缺点就是比较累, 所以才引入了换元法,

把 (x+1) 看成是 t. 这样 x=t-1. 代入原式子.
f(t)=(t-1)^2+(t-1)+1 = t^2-t+1. 实际上也就是 f(x)=x^2-x+1 了.

两种方法从本质上说, 是一样的.