Question

高分悬赏！！求解一道数学题！！

正△ABC中，AB=AC=BC=6，AD⊥BC，E是AD上一点（不与A、D重合），O、P、Q分别是△ABE、△ACE、△BCE内心。设AE=x，△OPQ的面积为y。
（1） 求△ABC的面积。
（2） 求证：AD垂直平分OP。
（3） 当E是△ABC内心时，求x、y的值。
（4） 是否存在一个x值使得OP经过E？若存在，求出x、y的值；若不存在，请说明理由。
（5） 是否存在一个x值使得E是△OPQ的内心？若存在，求出x、y的值；若不存在，请说明理由。
（6） 求出y与x的函数关系式。
(要有详细解答过程）

Answer 1

说明：∧（0.5）表示开二次方；AD2或x2中的2表示平方；根号显示不出来，只能用中文了；/表示除号，不要看漏了；括号看清楚，因为第6题太多括号了～～

（1）∵AD⊥BC ∴BD=CD=6÷2=3
∴△ABD中，AD2＝6×6－3×3＝27 ∴AD＝3根号3
∴S△ABD＝3根号3×6÷2＝9根号3

（2）连结AO、BO、AP、CP，AD与OP交于F
∵AD⊥BC ∴∠BAD=∠CAD，∠BAO=∠CAP
∴△ABE≌△ACE
∴∠ABE=∠ACE ∴∠ABO=∠ACP
∴△ABO≌△ACP ∴OA=OP ∵∠OAF=∠PAF
∴OF=PF，OP⊥AF
∴AD垂直平分OP

(3) ∵E是△ABC内心 ∴AE=BE=CE
∴△ABE≌△ACE≌△BCE
∵O、P、Q是△ABE、△ACE、△BCE内心 ∴OA=OB=QB=AP
∵∠OBQ=∠OAP＝15+15＝30 ∴△AOP≌△BOQ
∵AD垂直平分OP ∴OP=OQ=PQ ∴△OPQ为正三角形
∵∠DBE=60÷2=30 ∴BE=BD÷COS∠DBE=2根号3
∴x=2根号3
延长EO交AB于G ∴AG=BG=3，EG⊥AB
∵∠BAO=∠FAO=15 ,OP⊥AD
∴OG=OF=AG×tan∠BAO=6－3根号3
∴△OQF中，QF＝OF×tan∠FOQ=6根号3－9
∴y=(6－3根号3)(6根号3－9)＝63根号3－108

（4）假设存在，则作PH⊥CE于H
∵OP⊥AD ∴PE、PH是△ACE内切圆半径 ∴PE＝PH
∵直角△PEH中，PH＜PE ∴原假设不成立
∴OP不可能经过点E

（5）BE与OQ交于I，作OJ⊥AB于J
当E是△OPQ内心时，∠POE＝∠QOE
∵∠BEO＝∠AEO ∴∠OIE＝∠OFE＝90
∴EF＝EI，OJ、OI是△ABE内切圆半径 ∴OJ＝OI
∵O、P、Q是△ABE、△ACE、△BCE内心
∴OB平分∠ABE ∴△BOJ≌△BOI ∴BJ＝BI
同理可证BI＝BD＝3 ∴BJ＝3＝AJ ∴OJ垂直平分AB
∴OA＝OB，∠OAJ＝∠OBJ＝15 ∴∠ABE＝∠BAE＝30
∴OE平分∠ABD
∴E是△ABC的内心
∴x=2根号3 y=63根号3－108

（6）作EM⊥AB于M
∴EM＝AE×sin∠EAM＝0.5x ，AM＝0.5（根号3）x
∴S△ABE＝AB×EM÷2＝3x
∴BM＝6－0.5（根号3）x
∴BE＝（BM2+ PM2）∧（0.5）＝
（x2－6根号3乘x+36）∧（0.5）
根据内切圆半径公式即内切圆半径＝2S÷C
可知OF＝3x /[（x2－6根号3乘x+36）∧（0.5）+x+6] 设OF＝a
∵∠OAP＝15 ∴AF＝（2+根号3）a
∵BE＝CE，BC＝6，DE＝AD－AE＝3根号3－x
∴S△BCE＝BC×DE÷2＝9根号3－3x
同理QD＝（9根号3－3x）/
[（x2－6根号3乘x+36）∧（0.5）+3]
∴y＝（AD-AF-QD）×OP÷2=
[3根号3－（2+根号3）a－QD]×a
把a和QD代入得
y=9根号3乘x /{（x2－6根号3乘x+36）∧（0.5）+x+6]－
(18+9根号3)x2/{2x2+(12－6根号3)x+2(x+6)×
[(x2－6根号3乘x+36）∧（0.5）]+72}－
(27根号3乘x－9x2)/{x2+(3－6根号3)x+(x+9)×
[(x2－6根号3乘x+36）∧（0.5）]+54}
（0＜x＜3根号3）

Answer 2

（1） S=1/2*AD*BC=9*（√3）
（2） 设OP连线交AD于N,则
∵AD⊥BC BD=CD
∴直角ΔBDN≌直角ΔCDN
∴∠NBC=∠NCB
∴∠ABN=60°-∠NBC=60°-∠NCB=∠NCA
又∵BO和CP分别为∠ABN和∠NCA的角平分线
∴∠ABO=1/2*∠NBC=1/2*∠ACN=∠ACP

连接A0,AP则：
AD平分∠BAC(正三角形垂线同时是角平分线和中线)
即∠BAD=∠CAD
又∵AO,AP分别为∠BAD和∠CAD的角平分线
∴∠BAO=1/2*∠BAD=1/2*∠CAD=∠CAP
又∵AB=AC
∴ΔABO≌ΔACP (角边角)
∴AO=AP

又∵∠OAN=1/2*∠BAD=1/2*∠CAD=∠PAN
∴ΔOBE≌ΔPCE (边角边)
∴ON=PN
∠ANO=∠ANP
又∵∠ANO+∠ANP=180°
∴∠ANO=90°

我累了

Answer 3

（1） S=1/2*AD*BC=9*（√3）
（2） 设OP连线交AD于N,则
∵AD⊥BC BD=CD
∴直角ΔBDN≌直角ΔCDN
∴∠NBC=∠NCB
∴∠ABN=60°-∠NBC=60°-∠NCB=∠NCA
又∵BO和CP分别为∠ABN和∠NCA的角平分线
∴∠ABO=1/2*∠NBC=1/2*∠ACN=∠ACP

连接A0,AP则：
AD平分∠BAC(正三角形垂线同时是角平分线和中线)
即∠BAD=∠CAD
又∵AO,AP分别为∠BAD和∠CAD的角平分线
∴∠BAO=1/2*∠BAD=1/2*∠CAD=∠CAP
又∵AB=AC
∴ΔABO≌ΔACP (角边角)
∴AO=AP

又∵∠OAN=1/2*∠BAD=1/2*∠CAD=∠PAN
∴ΔOBE≌ΔPCE (边角边)
∴ON=PN
∠ANO=∠ANP
又∵∠ANO+∠ANP=180°
∴∠ANO=90°

（3） E为ΔABC的内心
∵∠OAN=1/2*∠ABC=30°
∴DE=(√3)/3*BD==√3
∴x=AE=AD-DE=3*(√3)-√3=2*(√3)

延长BE,CE分别交AC,AB于M,L
可证点O,P，Q分别在CL,BM,AD上
(等腰三角形顶角平分线垂直平分底边)
∵直角ΔALO≌直角ΔANO
∴ON=OL=AL*tan(15°)=3*tan(15°)
∴OP=2*ON=6*tan(15°)

同理可得PQ=OQ=6*tan(15°)
即ΔOPQ为边长为6*tan(15°)的等边三角形
y=1/2*OP*OP*((√3)/2)=9*(√3)*(tan(15°))^2 E为ΔABC的内心
∵∠OAN=1/2*∠ABC=30°
∴DE=(√3)/3*BD==√3
∴x=AE=AD-DE=3*(√3)-√3=2*(√3)

延长BE,CE分别交AC,AB于M,L
可证点O,P，Q分别在CL,BM,AD上
(等腰三角形顶角平分线垂直平分底边)
∵直角ΔALO≌直角ΔANO
∴ON=OL=AL*tan(15°)=3*tan(15°)
∴OP=2*ON=6*tan(15°)

同理可得PQ=OQ=6*tan(15°)
即ΔOPQ为边长为6*tan(15°)的等边三角形
y=1/2*OP*OP*((√3)/2)=9*(√3)*(tan(15°))^2

Answer 4

解:
S△ABC=6*(6*根号3)/4=9根号3

Answer 5

（1） S=1/2*AD*BC=9*（√3）
（2） 设OP连线交AD于N,则
∵AD⊥BC BD=CD
∴直角ΔBDN≌直角ΔCDN
∴∠NBC=∠NCB
∴∠ABN=60°-∠NBC=60°-∠NCB=∠NCA
又∵BO和CP分别为∠ABN和∠NCA的角平分线
∴∠ABO=1/2*∠NBC=1/2*∠ACN=∠ACP

连接A0,AP则：
AD平分∠BAC(正三角形垂线同时是角平分线和中线)
即∠BAD=∠CAD
又∵AO,AP分别为∠BAD和∠CAD的角平分线
∴∠BAO=1/2*∠BAD=1/2*∠CAD=∠CAP
又∵AB=AC
∴ΔABO≌ΔACP (角边角)
∴AO=AP

又∵∠OAN=1/2*∠BAD=1/2*∠CAD=∠PAN
∴ΔOBE≌ΔPCE (边角边)
∴ON=PN
∠ANO=∠ANP
又∵∠ANO+∠ANP=180°
∴∠ANO=90°

（3） E为ΔABC的内心
∵∠OAN=1/2*∠ABC=30°
∴DE=(√3)/3*BD==√3
∴x=AE=AD-DE=3*(√3)-√3=2*(√3)

延长BE,CE分别交AC,AB于M,L
可证点O,P，Q分别在CL,BM,AD上
(等腰三角形顶角平分线垂直平分底边)
∵直角ΔALO≌直角ΔANO
∴ON=OL=AL*tan(15°)=3*tan(15°)
∴OP=2*ON=6*tan(15°)

同理可得PQ=OQ=6*tan(15°)
即ΔOPQ为边长为6*tan(15°)的等边三角形
y=1/2*OP*OP*((√3)/2)=9*(√3)*(tan(15°))^2

累，先到这儿吧。。
行不

Answer 6

有@ 同感