Question

高数中关于分段函数f(x)在分段点x0的可导性问题

如果f(x)在x0这一点左右导数存在，为什么可以推出f(x)在x0连续的结论？
如果f(x)在x0这一点左右导数存在且相等，为什么可以推出f(x)在x0可导的结论？
注：f(x)为分段函数

Answer 1

1. 因为左导数等于[f(x0-dx)-f(x0)]/(-dx)

   右导数等于[f(x0+dx)-f(x0)]/(dx)。如果两者都存在f(x0-dx)和f(x0+dx)都趋于f(x0)，否则极限不存在，所以必然连续

2. 因为这是导数的定义

追问

如果对于非分段函数来说这没错，但是对于分段函数来讲，f(x)在分段点x0的左右极限可能不等于在x0这一点的函数值啊，那么不就是不连续吗？不连续函数必不可导啊

追答

但是当左右导数同时存在时，他们在左右两侧同时趋于f(x0)，在这种情况下，它不可能不等于x0这点的函数值，否则怎么趋于同一个值

追问

在分界点x0的数值可以人为的设定为一个常数啊，f(x)是一个分段函数啊

追答

你说的那是没有前提的情况下正确，但是当f(x0-dx)和f(x0+dx)同时趋于f(x0)时，这个是不成立的。如果任意一个数不连续，要么f(x0-dx)无法趋于f(x0)要么f(x0+dx)无法趋于f(x0)，不可能同时成立

Answer 2

　　证明就是了：
　　（1）仅证f(x)在x0这一点左导数存在的情形：此时极限
　　　　lim(x→x0-0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0) = f'-(x0)
存在，于是
　　　　lim(x→x0-0)f(x) =f(x0)+lim(x→x0-0){[f(x)-f(x0)]/(x-x0)}*(x-x0) = f(x0)，
即f(x)在x0左连续。

　　右导数存在的情形类似证明。
　　（2）是可导的充要条件。
　　注：以上证明不管f(x)是否为分段函数都成立。