Question

矩阵的相似矩阵求法

如果矩阵A不能相似对角化，那么它的相似矩阵怎么求
那这个p怎么求，老师随便举个三阶矩阵例子示范一下

Answer 1

不能相似对角化的矩阵在复数域中与唯一的若当标准型相似，在实数域中相似于唯一的实相似标准形。

若当标准型由若干个若当块对角排列组成。J(e,n) =
e 0 ... 0
1 e ... 0
..... ..
0 0 ... e

其不变因子（或行列式因子）为：1,1,1,...,(x - e) ^ n

实相似标准形由多项式的伴侣矩阵组成
若P(x) = a[n] x^n + a[n-1] x^n-1 + .... +a[1]x + a[0]
则伴侣阵为
0 0 0 ... 0 a[n]
1 0 0 ... 0 a[n-1]
0 1 0 ... 0 a[n-2]
... ......
0 0 0 ... 1 a[1]

其不变因子为：1,1,1,...,P(x)

具体的求法：先做出特征矩阵|Lambda * E - A|,再用Lambda矩阵的初等行列变换将其化为标准形，即可写出初等因子。之后每一个初等因子对应一个小块,排成对角即可。

详细做法请参考丘维声《高等代数》中的有关内容

Answer 2

对任一同阶可逆矩阵 P^-1AP 都是A的相似矩阵

你这不是原题吧

可逆矩阵多了
比如初等矩阵
2 0 0
0 1 0
0 0 1

1 1 0
0 1 0
0 0 1

1 0 2
0 1 0
0 0 1