Question

在△ABC中，若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB）

(1)判断△ABC的形状
（2）在上述三角形中，若角C的对边c=1，求该三角形内切圆半径的取值范围

Answer 1

（1）方法一
根据正弦定理，原式可变形为：
c(cosA+cosB)=a+b.......................①
∵ 根据任意三角形射影定理（又称“第一余弦定理”）：
a＝b·cosC＋c·cosB
b＝c·cosA＋a·cosC
∴ a+b=c(cosA+cosB)+cosC(a+b)..........②
由于a+b≠0，故由①式、②式得：
cosC=0
因此，在△ABC中，∠C=90°。
方法二:
即a+b=c(cosA+cosB)=(c^2+b^2-a^2)/(2b)+(c^2+a^2-b^2)/(2a)
也就是2a+2b=c^2(1/b+1/a)+a+b-(a^2/b+b^2/a)
两边同时约去a+b得
2=c^2/ab+1-(a^2+b^2-ab)/ab
即c^2=a^2+b^2
C为90°
(2)∵c^2=a^2+b^2=1
S△ABC=(a+b+c)r/2=ab/2
r=ab/(a+b+c)=ab/(a+b+1)
令a=sina,b=cosa,0＜a＜π/2
r=sinacosa/(1+sina+cosa)
=[(sina+cosa)^2-1]/2(1+sina+cosa)
=(sina+cosa-1)/2
=√2/2*sin(a+π/4)-1/2
∵0＜a＜π/2,∴π/4＜a+π/4＜3π/4
∴√2/2＜sin(a+π/4)≤1
∴0＜r≤(√2-1)/2
望采纳

Answer 2

(1) 结合正余弦定理，有
a+b=c[(b^2+c^2-a^2)/2bc+(a^2+c^2-b^2)/2ac]
2ab(a+b)=a(b^2+c^2-a^2)+b(a^2+c^2-b^2)
a^2b+ab^2=ac^2-a^3+bc^2-b^3
ab(a+b)=(a+b)c^2-(a+b)(a^2-ab+b^2)
ab=c^2-(a^2-ab+b^2)
a^2+b^2=c^2
所以，三角形ABC为直角三角形
(2)直角三角形，角C为直角，斜边长为1
你自己画个图，内切圆圆心和三角形三顶点连线，把直角三角形面积分成了三部分，三部分的高都是内切圆半径，底是三角形三边，所以有
1/2ar+1/2br+1/2cr=1/2 ab 内切圆半径为 r=ab/(a+b+c) 现在c=1 a^2+b^2=1
r=ab/(a+b+1) 满足 a^2+b^2=1 不妨设 a=sinA b=cosA A为锐角
r=sinAcosA/(sinA+cosA+1)=1/2*[(sinA+cosA)²-1]/(sinA+cosA+1) 这时平方差公式展开，有
r=1/2*(sinA+cosA-1) =1/2 [根号2sin(A+π/4)-1] A为锐角 A+π/4 ∈(π/4,3π/4) 所以，sin(A+π/4)∈（根号2/2,1] 所以，总的范围就是 （0，(根号2-1)/2]

Answer 3

（1）
因为
A=(A+B)/2+(A-B)/2
B=(A+B)/2-(A-B)/2
所以
sinA+sinB=sin((A+B)/2+(A-B)/2)+sin((A+B)/2-(A-B)/2)
=sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)+cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)+sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)-cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)
以及
cosA+cosB=cos((A+B)/2+(A-B)/2)+cos((A+B)/2-(A-B)/2)
=cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)-sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)+cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)+sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)
=2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)。
又知道：C=180-A-B
sinC=sin(180-(A+B))=sin(A+B)=2sin((A+B)/2)cos((A+B)/2)。
将以上各式代回原等式得到：
2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)＝2sin((A+B)/2)cos((A+B)/2)*2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)
化简得：
2[cos((A+B)/2)]^2=1
cos((A+B)/2)=(根号2)/2
所以A+B=90度，即ABC是直角三角形。

（2）
利用三角形面积守恒：
设内切圆半径为r，三角形三边长为a,b,c，那么三角形面积为(a+b+c)r/2
又因为ABC是直角三角形，所以面积又等于ab/2
所以
ab/2=(a+b+c)r/2
r=ab/(a+b+c)=ab/(a+b+1)
又因为a^2+b^2=1^2
==> (a+b)^2-2ab=1^2
==> ab=((a+b)^2-1^2)/2=(a+b+1)(a+b-1)/2
==> ab/(a+b+1)=(a+b-1)/2
带入r得到
r=(a+b-1)/2
因为a+b>c=1 ==> r>0
因为如果a^2+b^2=1, 当a=b时, a+b最大。==> a=b=(根号2)/2 ==> r<=((根号2)-1)/2

最后，三角形内切圆半径的取值范围是(0，((根号2)-1)/2]。