对于不全相等的正整数 a,b,c,求证:(a+b+c)/3>=(abc+10/27)^(1/3)
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化成(a+b+c)3次-27abc>=10来证明
不妨设a=b+m,a=c+n期中mn是不全为0的自然数。则(a+b+c)^3=(3a+m+n)^3=27a^3+27a^2(b+c)+9a(b+c)^2+(b+c)^3,又27abc=27a(a+m)(a+n)=27a^3+27a^2(m+n)+27amn。两者相减得到：
9a(m+n)^2+(m+n)^3-27amn=9a(m^2-mn+n^2)+(m+n)^3。
mn是不全为0的自然数，所以9a(m^2-mn+n^2)>=9a>=9,(m+n)^3>=1
所以9a(m^2-mn+n^2)+(m+n)^3>=10成立，等号当且仅当a,b,c中，两个取1，一个取2时取到。（在本证明过程中取a=1,b=2,c=1)
不妨设a=b+m,a=c+n期中mn是不全为0的自然数。则(a+b+c)^3=(3a+m+n)^3=27a^3+27a^2(b+c)+9a(b+c)^2+(b+c)^3,又27abc=27a(a+m)(a+n)=27a^3+27a^2(m+n)+27amn。两者相减得到：
9a(m+n)^2+(m+n)^3-27amn=9a(m^2-mn+n^2)+(m+n)^3。
mn是不全为0的自然数，所以9a(m^2-mn+n^2)>=9a>=9,(m+n)^3>=1
所以9a(m^2-mn+n^2)+(m+n)^3>=10成立，等号当且仅当a,b,c中，两个取1，一个取2时取到。（在本证明过程中取a=1,b=2,c=1)
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