Question

若非零函数f（x）对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）×f（b），且当x＜0时，f（x）＞1.

求证：（1）f（x）＞0（2）f（x）是减函数

Answer 1

(1)令a=b=0,则f(0)=f(0)*f(0),得f(0)=0或1，若f(0)=0，则f(x)=f(x+0)=f(x)*f(0)=0,与题意不符，所以f(0)=1，当x>0时，f(0)=f[x+(-x)]=f(x)*f(-x),因为f(0)=1，所以f(x)=1/f(-x),由题意易得f(-x)>1>0,所以当x>0时，1>f(x)>0，又因为f(0)=1，所以对任意x，f(x)>0。
（2）令x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f[x1+(x2-x1)]-f(x1)=f(x1)*f(x2-x1)-f(x1)=f(x1)*[f(x2-x1)-1],因为x2-x1>0,所以f(x2-x1)<1，所以f(x1)*[f(x2-x1)-1]<0,即f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1)，所以f（x）是减函数

Answer 2

解（1）f(0+0)=f(0)*f(0),所以f(0)=0或1 又当x<0时，f(-1+0)=f(-1)*f(0)>1,所以f(0)=1,f(-1)>1
f(x+(-x))=f(x)*f(-x)=f(0)=1,所以f(x)和f(-x)互为倒数。因为当x为正数时f(x)>1>0,所以f(x)>0
(2)当x=0时，f(x)=1
当x<0时，f(x)=f(-1)的-x次方。因为f(-1)>1,所以x越小，f(x)越大，为减函数。
当x>0时，f(x)=f(1)的x次方。由（1）可得，f(1)为＜1，大于0的数，所以x越大，f(x)越小，为减函数。
综上可知，f(x)为减函数。

Answer 3

1、令a=b=x/2，有f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2)*f(x/2)=f(x/2)²>0(因为f(x)为非零函数)
2、令x2-x1=a<0，即x2<x1；
f(x2)=f(x1+a)=f(x1)*f(a);因为a<0，所以f(a)>1;
所以f(x2)>f(x1)，即f(x)为减函数。

Answer 4

第一问用反证法，第二问自己去想了~