Question

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<1/a

设函数f(x)的图像关于直线x=x0对称，证明x0<x1/2

Answer 1

数学 家教QQ1016871819

f(x)-x=ax²+bx+c-x
因为x1，x2是方程f(x)-x=0的两根
所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)
当x∈(0,x1)时，x-x1<0，x-x2<0，且a>0
所以a(x-x1)(x-x2)>0，f(x)-x>0，f(x)>x
因为f(x)-x1
=a(x-x1)(x-x2)+x-x1
=(x-x1)[a(x-x2)+1]
=(1/a)(x-x1)[x-x2+1/a]
=(1/a)(x-x1)[(1/a-x2)+x]
<0
所以f(x)<x1
即当x∈(0,x1)时，x<f(x)<x1

f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x
=a[x²-(x1+x2)x+x1x2]+x
=ax²-[a(x1+x2)x-1]x+ax1x2
设m,n是f(x)=0的两个根模纯，因谈吵为x=x0是f(x)的对称轴
所旦侍咐以(m+n)/2=x0，m+n=2x0
又由韦达定理得
m+n
=[a(x1+x2)-1]/a
=(x1+x2)-1/a
=x1-(1/a-x2)
因为1/a>x2，所以1/a-x2>0
所以m+n<x1
即2x0<x1，x0<x1/2

Answer 2

构造函数g(x)=f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)
0<x1<链丛虚x2<1/a x∈(0,x1)
a>0 (x-x1)(x-x2)>0
g(x)>0
要证明f(x)<x1 即证 f(x)-x+x-x1<0
即a(x-x1)(x-x2)+(x-x1)<0
(x-x1)(ax-ax2+1)<棚燃0
因为0<x1<x2<1/a x∈(0,x1)
所以(x-x1)(ax-ax2+1)<0成立
x<郑弯f(x)<x1