Question

初三数学（第23题）

（1）任意给定一个矩形，是否存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的4倍？说明理由。（2）任意给定一个长和宽分别是n（n是大于1的自然数）和1的矩形，是否存在另外一个矩形。它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的四分之一？为了解决这个问题，不妨验证以下三种情况：矩形的长和宽分别是2和1、13和1、14和1时，是否存在另外一个矩形。它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的四分之一？由此可以得到什么结论？

Answer 1

(1)、存在假设给定矩形长和宽分别为a,b，要求的矩形长和宽为x,y。按题意，有2x+2y=4(2a+2b) .......(1)xy=4ab ..... (2)(1)式化简为x+y=4(a+b) ...(3)由（2）、（3）我们可以构造一元二次方程 x^2-4(a+b)*x+4ab=0x,y就是该一元二次方程的两个根，现在我们要证明该方程有两个正根。因为xy=4ab>0 所以x、y同号。又x+y=4（a+b）>0 所以x、y都为正又方程的判别式=b^2-4ac=（-4（a+b））^2-4*4ab=16(a^2+b^2+ab)>0 所以方程有两个不相等的根综上，由a,b可以求出两个不同的正根x、y,所以存在这样的一个矩形。（2）、不一定同上，假设要求矩形的长宽分别为x、y有x+y=(n+1)/4xy=n/4构造方程x^2-(n+1)/4*x+n/4=0 ----> 4x^2-(n+1)*x+n=0判别式=△=n^2+1-14n1、当n<14时，△<0，方程无解2、当n>=14时，△>0，方程存在两个正根所以2和1 13 和1 时，均不存在14和1 的时候，存在这样的矩形

Answer 2

（1）存在。 设矩形的两边为a，b。 周长为2a+2b面积为ab。存在变长为2a，2b为边的矩形周长为8a+8b面积为4ab（2）同题一，倒过来说即可

Answer 3

（1）设长为X宽为Y，则周长为2（X+Y），面积为XY不存在一个矩形：长为4X，宽为4Y，则周长=8（X+Y)，面积则为16XY，，，所以不成立