Question

已知等差数列{an}中，Sn=m，Sm=n（m不等于n），求Sm+n

Answer 1

解法一：
Sn=(A1+An)n/2=(A1+A1+(n-1)d)n/2=m 2A1+(n-1)d=2m/n
Sm=(A1+Am)m/2=(A1+A1+(m-1)d)m/2=n 2A1+(m-1)d=2n/m
两式相减
(n-m)d=2m/n-2n/m=2(m^2-n^2)/(mn)=2(m+n)(m-n)/(mn)
d=-2(m+n)/(mn) mnd=-2(m+n)

A(n+1)=A1+nd
A(n+2)=A2+nd
……
A(n+m)=Am+nd
上式共m项，相加
A(n+1)+A(n+2)+……+A(n+m)=(A1+A2+……+Am)+mnd=Sm-2(m+n)
S(n+m)=Sn+(A(n+1)+A(n+2)+……+A(n+m))
=Sn+Sm-2(m+n)
=n+m-2(n+m)
=-(n+m)

解法二：
在等差数列{An}中Sn=an^2+bn,其中a,b是常数。
∴Sn/n是常函数或一次函数，
∴三点(m,Sm/m),(n,Sn/n),(m+n,S<m+n>/(m+n))共线，
∴[S<m+n>/(m+n)-Sn/n]/(m+n-n)=(Sn/n-Sm/m)/(n-m),
把Sn=m，Sm=n代入上式，得
S<m+n>/(m+n)-m/n=m(m^2-n^2)/[mn(n-m)]=-(m+n)/n,
∴S<m+n>=-(m+n).