Question

定积分等式证明 求大神看一下我的方法对不对

答案和我的证法不一样，大家看一下有没有漏洞。

Answer 1

非常好的证明啊!

这个不等式是积分形式的Cauchy Schwarz不等式,相当有名啊!

如果我们把积分S(fg)dx写成<f,g>,
则不等式告诉我们:
<f,g>^2 <= <f,f>*<g,g>

这在一般的实内积空间里都是成立的,可以参考一些高等代数的读物.
采用的手法是,考察函数F(t)=<f+t*g,f+t*g>,t是实数,
f,g固定不动,它们是向量,函数可以看成是无穷维的向量.
然后用线性性质将F(t)展开,发现它是一个关于t的二次函数,
由F(t)的非负性,则判别式<=0,这个不等式就是CS不等式.

这个抽象方法的实例就是你书中的答案.

追问

果然有大神啊。最开始接触 柯西---施瓦兹不等式 是在概率论中的方差与协方差的关系。第一眼还没认出来哈哈。不过你竟然连我在看哪本书都知道！！！