Question

证明算数平均数大于等于几何平均数

RT 尽量用高中生能看懂的方法..

Answer 1

sqrt{[(a1)^2+(a2)^2+..(an)^2/n]}≥(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)

证明：

1.sqrt(((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)/n)≥(a1+a2+..an)/n
两边平方,即证 ((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)≥(a1+a2+..an)^2/n
(1) 如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了：
柯西不等式变式：
a1^2/b1 + a2^2/b2 +...an^2/bn ≥（a1+a2+...an）^2/（b1+b2...+bn）
当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等号成立
只要令b1=b2=...=bn=1，代入即可
(2)柯西不等式
(a1^2 + a2^2 +...an^2)*（b1+b2...+bn）≥（a1b1+a2b2+...anbn）^2
[竞赛书上都有证明：空间向量法；二次函数法；是赫尔德不等式的特例]

2.(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a3..an)

(1)琴生不等式: 若f(x)在定义域内是凸函数，则nf((x1+x2+...xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...f(xn)
令f(x)=lgx 显然，lgx在定义域内是凸函数[判断凸函数的方法是二阶导数<0,或从图象上直接观察]
nf((x1+x2+...xn)/n)=nlg[(a1+a2+..an)/n]≥
f(x1)+f(x2)+...f(xn)=lga1+lga2+lga3...lgan=lga1*a2..an
也即 lg[(a1+a2+..an)/n]≥1/n(lga1a2a3...an)=lg(a1a2a...an)^(1/n)=lgn次根号(a1a2..an)
f(x)在定义域内单调递增，所以(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2..an)

(2)原不等式即证：a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an
先证明a^n+b^n≥a^(n-1)b+b^(n-1)a 做差 (a-b)(a^(n-1)-b^(n-1))[同号]≥0
2*(a1^n+a2^n+...an^n)≥a1^(n-1)a2+a2^(n-1)a1+a2^(n-1)a3+a3^(n-1)a2...an^(n-1)a1+a1^a(n-1)an
=a2(a1^(n-1)+a3^(n-1))+a3(a2^(n-1)+a4^(n-1))...
≥a2a1^(n-2)a3+a2a3^(n-2)a1+...[重复操作n次]≥...≥2na1a2...an
即a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an

(3)数学归纳法:但要用到 (1+x)^n>1+nx这个不等式，不予介绍

3.n次根号(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)
原不等式即证：n次根号(a1a2a3..an)*(1/a1+1/a2+..+1/an)≥n
左边=n次根号[a2a3..an/a1^(n-1)]+n次根号+[a1a3a4..an/a2(n-1)]+n次根号[a1a2a4...an/a3^(n-1)]+...n次根号[a1a2a3...a(n-1)/an^(n-1)]
由2得 和≥n*n次根号(它们的积) 所以左边≥n*n次根号(1)=n
所以(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)

证毕

特例：sqrt(a^2+b^2/2)≥(a+b)/2≥sqrt(ab)≥2/1/a+1/b
证明：
1.sqrt(a^2+b^2/2)≥(a+b)/2 两边平方 a^2+b^2≥(a+b)^2/4 即证 (a/2-b/2)^2≥0 显然成立
2.(a+b)/2≥sqrt(ab) 移项 即证 (sqrt(a)-sqrt(b))≥0 显然成立
此不等式中 a+b可以表示一条直径的两部分，(a+b)/2=r sqrt(ab)就是垂直于直径的弦，而r≥弦的一半
3.sqrt(ab)≥2/1/a+1/b 两边同时乘上 1/a+1/b 即证 sqrt(ab)*(1/a+1/b)≥2
而sqrt(ab)*(1/a+1/b)=sqrt(a/b)+sqrt(b/a)≥2[由上一个不等式]

Answer 2

算术平均数：（a+b）/2，几何平均数：根号ab因为a^2+b^2+2ab=(a+b)^2≥0所以a^2+b^2≥2ab所以根号a的平方+根号b的平方≥2根号ab所以a+b≥2根号ab所以（a+b）/2≥根号ab当且仅当a=b时，等号成立所以算术平均数≥几何平均数