Question

一个边长为8厘米的正方形纸片要在这张纸片上剪一个最大的半圆形纸片,这个半圆形纸片的面积和周长各是多少

快点

Answer 1

因为，边长为8cm的正方形内切圆半径是4，外接圆半径为4√2，

所以，此正方形上最大半圆形纸片的半径应大于4 而小于4√2

依着外接圆向内切圆过渡的想法，可知最大半圆形的圆心在正方形某一对角线上

所以，作如下图

 

 

以正方形中心为原点，设此半圆形的圆心为（x,-x）x>0,

在正方形中剪半圆形，既要考虑到直径的长度（图中黑色长线），又要考虑圆心到正方形两相邻直角边的距离

可以看出，当圆心从原点移向正方形任一顶点时，可用距离（圆心到直角边的最大距离）变大，而可用直径长度减小

从而，当可用距离与可用直径长度正好相等时，即半圆形与正方形的两直角边相切时，半圆形最大。用x表示，半径为(4+x)，

由于正方形的特殊性，可得，在红色小三角形中，直角边长为（4-x），斜边长正好等于半径（4+x），

所以，4+x=√2（4-x），得x=12-8√2，半径等于4+x=16-8√2

由此，面积=1/2*pi*(16-8√2)²=64*pi*(3-2√2) cm²

周长=pi*（16-8√2）+2*（16-8√2） cm

 

 

希望能帮到你。。

Answer 2

以某条平行于对角线的直线为直径，与另外两边相切的半圆，最大半径为16-8√2>16-8*(3/2)

我不能证明这种 半圆 是最大的，但至少它的半径大于以一个边长为直径的半圆的半径。

面积：π（16-8√2）²=64π（4-4√2+2）=376π-256π√2 （cm²）

周长：π（16-8√2）+2（16-8√2）=16π-8π√2+32-16√2 （cm）