Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知OA：

Answer 1

解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，
设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，
由S△ABC=1 2 AB×OC=15，得1 2 ×6m×5m=15，
解得m=1（舍去负值），
∴A（-1，0），B（5，0），C（0，-5），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），将C点坐标代入，得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-5），
即y=x2-4x-5；

（2）∵B（5，0），C（0，-5），
∴直线BC的解析式为：y=x-5，
∵点M的运动时间为t，
∴M（0，-2t），
∵直线MH平行于直线BC，
∴直线MH为y=x-2t，
设直线MH与对称轴交于点D，点D的坐标为（2，2-2t），
∴DP=（2-2t）-（-3）=5-2t，
∴S△PMH=1 2 ×2t（5-2t）=-2t2+5t=-2（t-5 4 ）2+25 8 ，（0＜t＜5 2 ），
∴当t=5 4 时，S有最大值是25 8 ；

（3）∵抛物线的解析为y=x2-4x-5，
∴设点E的坐标为（x，x2-4x-5），
又∵抛物线的对称轴为x=2，
∴点E到对称轴的距离为1 2 EF=|x-2|，
∵以EF为直径的⊙Q与x轴相切，
∴|x-2|=|x2-4x-5|，
①x-2＞0，x2-4x-5＞0时，即x＞5时，x-2=x2-4x-5，
整理得，x2-5x-3=0，
解得x=5+ 37 2 ，x=5- 37 2 （舍去），
∴x-2=1+ 37 2 ，
此时点E的坐标为（5+ 37 2 ，1+ 37 2 ），
②x-2＞0，x2-4x-5＜0时，即2＜x＜5时，x-2=-（x2-4x-5），
整理得，x2-3x-7=0，
解得x=3+ 37 2 ，x=3- 37 2 （舍去），
∴-（x-2）=-（3+ 37 2 -2）=1- 37 2 ，
此时点E的坐标为（3+ 37 2 ，1- 37 2 ），
③x-2＜0，x2-4x-5＞0时，即x＜-1时，-（x-2）=x2-4x-5，
整理得，x2-3x-7=0，
解得x=3- 37 2 ，x=3+ 37 2 （舍去），
∴-（x-2）=-（3- 37 2 -2）=1+ 37 2 ，
此时点E的坐标为（3- 37 2 ，1+ 37 2 ），
④x-2＜0，x2-4x-5＜0时，即-1＜x＜2时，-（x-2）=-（x2-4x-5），
整理得，x2-5x-3=0，
解得x=5- 37 2 ，x=5+ 37 2 （舍去），
∴x-2=5- 37 2 -2=1- 37 2 ，
此时点E的坐标为（5- 37 2 ，1- 37 2 ），
综上所述，存在点E：（5+ 37 2 ，1+ 37 2 ），（3+ 37 2 ，1- 37 2 ），（3- 37 2 ，1+ 37 2 ），（5- 37 2 ，1- 37 2 ）使得以EF为直径的⊙Q与x轴相切．点评：本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，三角形的面积，以及二次函数的对称性，（3）中要注意点到直线的距离的表示以及绝对值方程的讨论求解，难度不大，但运算比较麻烦，计算时要认真仔细．

Answer 2

（2）设E点坐标为（n，n2-4n-5），抛物线对称轴为x=2，
由2（n-2）=EF，得2（n-2）=-（n2-4n-5）或2（n-2）=n2-4n-5，
解得n=1±10或n=3±10，
∵n＞0，
∴n=1+10或n=3+10，
边长EF=2（n-2）=210-2或210+2；

（3）存在．
由（1）可知OB=OC=5，
∴△OBC为等腰直角三角形，即B（5，0），C（0，-5），
设直线BC解析式为y=kx+b，将B与C代入得：5k+b=0b=-5，
解得：k=1b=-5，
则直线BC解析式为y=x-5，
依题意△MBC中BC边上的高为72，
∴直线y=x+9或直线y=x-19与BC的距离为72，
联立y=x+9y= x2-4x-5，y=x-19y= x2-4x-5，
解得x=-2y=7或x=7y=16，
∴M点的坐标为（-2，7），（7，16）．
2011成都的数学中考题你们可以查！