Question

设f(x)=ex/1+ax2,其中a为正实数. (ex指的是e的x次方,x2是x的2次方)

设f(x)=ex/1+ax2,其中a为正实数.

若f(x)为[1/2,3/2]上的单调函数，求a的取值范围

Answer 1

f(x)=e^x/(1+ax²)
解：对f(x)进行求导，得到：
f'(x)=[(e^x)'*(1+ax²)-e^x*(1+ax²)']/(1+ax²)²
=e^x*(ax²-2ax+1)/(1+ax²)²
∵ e^x＞0，(1+ax²)²＞0
∴ 要使g(x)=ax²-2ax+1在[1/2,3/2]恒大于等于0或者恒小于等于0就可以了
观察g(x)=ax²-2ax+1,可知道其过点(0,1)，对称轴为x=1，1/2与3/2刚好关于x=1对称，
顶点为(1,1-a)
①：g(x)=a(x-1)²+1-a在区间[1/2，3/2]恒≥0，那么只要1-a≥0即可，即a≤1
∵a＞0，所以0＜a≤1
②：g(x)=a(x-1)²+1-a在区间[1/2，3/2]恒≤0，那么必须有f(1/2)=f(3/2)=1-3a/4≤0
∴a≥4/3
综合得到：0＜a≤1或a≥4/3
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