Question

求y=2sin(x/2)-3cos(3x/4)的最小正周期

写下过程！

Answer 1

8π  

 2sin（x/2）周期为4π，-3cos（3x/4）周期为8π/3. 很明显只有在第二个函数重复3次后的图形才能与第一个函数重复两次后的图形叠加形成在同一“时域段（或x轴）”上一个周期的函数（当然是我个人觉得很明显）。

 

下面一段话是http://baike.baidu.com/view/1044776.htm这个网址里copy下来的

 

“设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f(x)±g(x)的最小正周期T1、T2的最小公倍数，分数的最小公倍数=T1,T2分子的最小公倍数/T1、T2分母的最大公约数。”

 

f(x)=2sin(x/2) , g(x)=-3cos(3x/4) ; y=f(x)+g(x) , T1=4π/1 , T2=8π/3 ; 符合上句话的条件，

T1 , T2分子最小公倍数8π

T1 , T2分母最大公约数1

由那段话即可知y的最小正周期为8π/1=8π

 

追问

你写的和老师说的一样，满意了

Answer 2

设y=f(x)=2sin(x/2)-3cos(3x/4)
首先8π是f(x)的一个周期, 假设T是另一个周期, 且T<8π
再假设T和8π不可公度, 即不存在正整数m, n使得 nT=m(8π)
(*)利用T和8π可以产生任意小的正周期 , 过程如下: (看不懂名词可以略过--的部分)

---
对任何无理数r, 我们可以找到一个严格递降的有理数数列去趋近r
设{a_i}为这样的一个趋向T/8π的数列, 且a_i=(m_i)/(n_i), m_i, n_i 是某些正整数
那麽对任意x, f(x+n_i * T - m_i * 8π)=f(x+n_i * T)=f(x)
所以n_i * T - m_i * 8π是f的一个周期
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f'(x)=cos(x/2)+(9/4)sin(3x/4)
易见f'(x)在[0, π]上恒为正, (**)所以f(x)在[0, π]上严格递增
所以f(x)的最小正周期至少为π, 按(*)的结论, T和8π只能是可公度的
所以存在互质正整数m, n使得 nT=8mπ , m<n<=8m (∵ π<=T<8π)

T=(8m/n)π
定义S为f(x)所有周期的集合, 由於两个周期的差还是周期, 所以S对减法封闭.
现在有(8m/n)π, 8π ∈ S
8π-(8m/n)π=(m-n)(8π/n)∈ S
因为m, n互质, 所以用数论里的结论, 可以证明8π/n∈ S
所以, 不妨设T是π, 2π, 4π/3, 4π, 8π/3, 8π/5, 8π/7其中之一

现在让我们再看f'(x)=cos(x/2)+(9/4)sin(3x/4)
x∈[2π, 8π/3]时, f'(x)<0, 故f(x)在[2π, 8π/3]上递减
结合(**), 可以得到T>=8π/3, 因此只剩下8π/3, 4π两个可能.

f(0)=-3, f(8π/3)=2sin(4π/3)-3<-3, f(4π)=3
所以, T =/= 8π/3, 4π
终於我们就证明到, f(x)的最小正周期是8π.

哎真不容易, 没想到证明是这麽费劲
也许有更好的方法, 但现在我是想不出来了

有疑惑可追问