Question

线性代数的大神帮忙解道题，谢谢，关于线性方程组求解

问题：线性方程组Ax=b有2个不同的解，则|A|=0。其中A为矩阵，x和b皆为向量。
请问，为什么Ax=b有两个不同的解，|A|就要=0？
我知道非齐次线性方程组有无限多解的条件是R（A）=R（A增广），但是为什么要|A|=0呢？

Answer 1

"我知道非齐次线性方程组有无限多解的条件是R（A）=R（A增广）"，错！！

R（A）=R（A增广）是非齐次线性方程组有解的条件，并不是有“无限多解”的条件！

当|A|≠0时，Ax＝0只有零解，从而Ax＝b [在R（A）=R（A增广）条件下]也只有唯一解。

∴Ax＝b 有两个不同解，必须|A|＝0.

追问

还是没太明白。
Ax=b在 [在R（A）=R（A增广）条件下]只有唯一解。这句话和“当|A|≠0时，Ax＝0只有零解”没什么关系吧？
如果是“Ax=0有两个不同解，从而有|A=0”还可以理解；但现在说的是“Ax=b”的情况而不是“Ax=b”。

追答

想想 AX＝b的通解由 它的一个解 [条件是R（A）=R（A增广）]与AX＝0的通解合成，

当AX＝0只有零解时[条件是|A|≠0]， AX＝b的通解只有一个解，

所以AX＝0有两个解，就必须破坏|A|≠0的条件，即|A|＝0

Answer 2

请注意语言，说的是有2个不同的解，没有说是不是有更多解，只能推出方程不是有唯一解也不是无解，所以A是奇异的，行列式为0，反推过来就不是了。