通过初等行变换法,将矩阵化成阶梯矩阵,阶梯矩阵非零行(零行就是全是零的行,非零行就是不全为零的行)的个数就是秩。
初等变换的形式:
1、以P中一个非零的数乘矩阵的某一行;
2、把矩阵的某一行的c倍加到另一行,这里c是P中的任意一个数;
3、互换矩阵中两行的位置。
一般来说,一个矩阵经过初等行变换后就变成了另一个矩阵,当矩阵A经过初等行变,换变成矩阵B时可以证明:任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯型矩阵。
扩展资料:
矩阵的秩的性质:
1、设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n,则A的列秩,秩都等于n。
2、矩阵的行秩,列秩,秩都相等。
3、初等变换不改变矩阵的秩。
4、矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};
5、当r(A)<=n-2时,最高阶非零子式的阶数<=n-2,任何n-1阶子式均为零,而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号,所以伴随阵为0矩阵。
通过初等行变换(就是一行的多少倍加的另一行,或行交换,或者某一行乘以一个非零倍数)把矩阵化成行阶梯型(行阶梯形就是任一行从左数第一个非零数的列序数都比上一行的大。
形象的说就是形成一个阶梯,)。这样数一下非零行(零行就是全是零的行,非零行就是不全为零的行)的个数就是秩。
根据定义求解,定义如下:
设有向量组A(A可以含有限个向量,也可以含无限多个向量),如果在A中能选出r个向量a1,a2,...ar,满足
(1)a1,a2,...ar线性无关;
(2)A中任意r+1个向量线性相关。
则向量组a1,a2,...,ar称为向量组A的最大线性无关向量组(简称最大无关组),数r称为向量组A的秩,只含零向量的向量组没有最大无关组,规定他的秩为0求解过程用相似矩阵的相似变化求解。
解:第三行减去第一行,得:
1,1,1,a;
0,0,0,1;
0,0,0,1-a。
第二行的-(1-a)倍加到第三行,得:
1,1,1,a;
0,0,0,1;
0,0,0,0。
这是一个行阶梯形矩阵,非零行的行数为2,所以矩阵的秩为2。
扩展资料:
矩阵的秩的定理:
若A~B,则R(A)= R(B)。
根据这一定理,为求矩阵的秩,只要把矩阵用初等行变换成行阶梯形矩阵,易见该矩阵最高阶非零子式的阶数。显然行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩。这就给出求矩阵秩的方法。
如果向量组:
(I)α1,α2,...,αsα1,α2,...,αs可以由。
(II)β1,β2,...,βtβ1,β2,...,βt线性表出,则r(II)≥r(I)r(II)≥r(I)。
解释为:能表出其他向量组,则其他向量组必然在自己的范围内,如果II的秩没有I大,则撑不起I张起的空间。这是很酷的一个定理。
r(A) = A的行秩(矩阵A的行向量组的秩)= A的列秩(矩阵A的列向量组的秩)。
初等变换的向量组的秩不变。
推荐于2017-12-16
1 1 1 a
0 0 0 1
0 0 0 1-a
第二行的-(1-a)倍加到第三行,得
1 1 1 a
0 0 0 1
0 0 0 0
这是一个行阶梯形矩阵,非零行的行数为2,
所以矩阵的秩为2。
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