Question

在△ABC中，已知a²tanB=b²tanA，判断三角形形状。求解析，求快速，谢谢

Answer 1

解：a²tanB=b²tanA
∴a²/b²=tanA/tanB
根据正弦定理：a/sinA=b/sinB
∴a/b=sinA/sinB
∴sin²A/sin²B=tanA/tanB
即sinA/sinB=cosB/cosA
∴sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A+2B=π
∴A=B或A+B=π/2
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形

Answer 2

由已知得 a^2*sinB/cosB=b^2*sinA/cosA，
据正弦定理可得 (sinA)^2*sinB/cosB=(sinB)^2*sinA/cosA ，所以 sinAcosA=sinBcosB ，
那么 2sinAcosA=2sinBcosB ，即 sin(2A)=sin(2B) ，
由于 A、B 是三角形内角，因此 2A=2B 或 2A+2B=π ，
因此 A=B 或 A+B=π/2 ，
所以，三角形是等腰三角形或直角三角形。