Question

设数列｛an｝中，a1=2，a(n+1)=an+n+1，求通项公式

Answer 1

你好！

a(n+1)=an+n+1
即 a(n+1) - an = n+1

a2 - a1 = 2
a3 - a2 = 3
a4 - a3 = 4
……
an - a(n-1) = n

各式相加
an - a1 = 2+3+4+……+n = (n+2)(n-1)/2
∴ an = 2+(n+2)(n-1)/2 = (n²+n+2)/2

Answer 2

累加法，前3位高手都已提供了。
要是还想看其他解法，楼主请观：

a(n+1) = a(n) + n + 1 = a(n) + [(n+1)(n+2) - n(n+1)]/2,
a(n+1) - (n+1)(n+2)/2 = a(n) - n(n+1)/2,
{a(n) - n(n+1)/2}是首项为 a(1)-1=1,的常数数列。
a(n) - n(n+1)/2 = 1,
a(n) = 1 + n(n+1)/2

Answer 3

由a(n+1)-an=n+1
得an=a(n-1)=n
a(n-1)-a(n-2)=n-1
... ... 中间省略
a2-a1=2
累加以上式子得 an-a1=n+(n-1)+(n-2)+。。。+2
an=n*(n+1)/2 + 1

Answer 4

用累加法
a(n+1)-an=n+1
a2-a1=2
a3-a2=3
.
.
.
a(n-1)-a(n-2)=n-1
an-a(n-1)=n
依次相加得an-a1=2+3+4+.......+n
an=a1+2+3+.....+n=(n²+n+2)/2