Question

高一数学必修一函数解答题求过程

已知函数f(x)=(x²+4)/x（x≠0）是奇函数，且满足f(1)=f(4)
证明：函数f(x)在区间（0,2】单调递减，在区间（2，+∞）单调递减
（PS：原来前面还有1小题，我已经把那1小题的答案当作已知条件打在上面了）
各位帮帮忙，一定及时采纳！！

Answer 1

f(x)=(x^2+4)/x
另 f'(x)=1-4/x^2=0得x=2，-2
易知：当0<x<2时，f'(x)<0;x∈(2,+∞)，f'(x)>0
∴f(x)在区间(0,2]单调递减，在区间(2,+∞)单调递增

追问

f'(x)=1-4/x^2=0是什么？？

追答

函数的导数大于零或者小于零时单调函数判断依据，导数等于零是其极值点

追问

函数的倒数不应该是f'(x)=x/(x^2+4)吗？？？
你这个有点看不懂。。。

追答

f(x)=x+4/x，对其求导x的导数为1，4/x的导数为-4/x^2 是导数不是倒数

追问

可是这个导数没学过啊，能不能换个方法

这个导数没学过啊，能不能换个方法

追答

传图片给你，稍等

Answer 2

f(x)=(x²+4)/x=x+4/x(X>2)
设.X1>X2，则有：
f(X1)-f(X2)=X1-X2+4/X1-4/X2=(X1^2X2-X2^2X1+4X2-4X1)/X1X2 =（X1-X2）（X1X2-4）/X1X2;
因为X1-X2>0;X1X2>0;
所以只要讨论X1X2-4正负情况，
易知当X>2时X1X2-4恒大于0；
所以函数在（2，+∞）内单调递增，
同理当（0<X<2）时
函数单调递减
附：高一没有学导数，所以一般求单调性都是设X1>X2再相减的。

Answer 3

f(x)=x+4/x,设x1，x2都大于0，x2＞x1，
f（x2)-f(x1)=x2+4/x2-x1-4/x1=(4-x2x1)(x1-x2)/x2x1
当在区间（0,2】f（x2)-f(x1)小于等于0，所以为单调递减
在区间（2，+∞）f（x2)-f(x1)大于0，所以为单调递曾