关于高等数学中二重积分极坐标变换后的上下限问题
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解:
变换积分顺序,先对θ积分,再对r积分
可我们发现,对θ积分,从左往右画条直线时,与积分区域左边的交点,即积分上限不能用一个式子表达,所以要分块
如图,分为上半部阴影部分D2,和下半部分D1
先积分的,用表达式,后积分的,直接上下限表示
从图中可见,对D1积分时,红线与图形左交点为-Π/4,右交点与曲线r=2acosθ相交,且此时θ∈(0,Π/2),所以θ=arccos(r/2a)(2a≥r>=0,a>0,所以arccos(r/2a)∈[0,Π/2],r的积分下限0,积分上限√2a
D2,红线均是与曲线r=2acosθ相交,但左边的交点,θ∈[-Π/4,0],右边θ∈[0,Π/2],所以左边为负号,右边为正号,即 -arccos(r/2a)≤θ≤arccos(r/2a),r的积分下限为√2a,积分上限为2a
由此,可写出变换积分顺序后的积分表达式
希望可以帮到你。。如有哪里我说得不清楚,欢迎追问。
追问
arccos(r/2a)一定是≥0的吗?r∈[0,2a],arccos(r/2a)不也可能∈[-Π/2,0]吗?
追答
arc cos(x)∈[0,pi],x∈[-1,1]
(cos(x)在[0,pi]上是单调函数,在[-pi/2,pi/2]上不是单调函数)
可以参考一下这里:http://baike.baidu.com/view/2044162.htm
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